Egy különleges megoldás, differenciálegyenletek az elsőrendű
Egy differenciálegyenlet egy egyenlete a független változók és azok funkcióit és származékai (vagy differenciák) ezt a funkciót.
Ha a differenciál egyenletnek egy független változó, ez az úgynevezett egy közönséges differenciálegyenlet, ha a független változók két vagy több, ez az úgynevezett differenciális egyenlet differenciálegyenlet részleges származékok.
A legmagasabb deriváltak a egyenletet nevezzük a sorrendben a differenciálegyenlet.
1. Cauchy probléma egy elsőrendű differenciálegyenlet
Cauchy probléma az úgynevezett találni különösebb oldatot egy differenciálegyenlet y = j (x, c0), kielégíti a kezdeti feltételek y (x0) = y0.
Cauchy-tétel. (Tétel a létezése és egyedisége megoldások differenciálegyenletek rend 1)
Ha az f (x, y) folytonos régió D a XOY síkban van és folytonos parciális deriváltja a szakterületen
, akkor mi nem lenne az a pont (x0. y0) egy egyedülálló megoldás a D,
, egy bizonyos intervallumban tartalmazó x0. részesülő x = x0 érték j (x0) = y0. azaz létezik egy egyedülálló megoldás a differenciálegyenlet.
1.1. A geometriai jelentése
Geometriailag találni, pedig ez az integrál görbét áthaladó egy adott pont M (x, y).
Nagy jelentőséggel bír az elmélet differenciálegyenletek és alkalmazásaik a kérdés jelentőségét Cauchy probléma és az egyedülálló ez a megoldás. Azt kell mondani, hogy a Cauchy probléma
Ez egy egyedülálló megoldás, ha létezik olyan szomszédságában x
hogy meghatározzuk az oldatot (1.1), és nincs megoldás
meghatározása megegyezik környéke (1.2), az értéke, amely nem esik egybe a értékeket az oldatok (1,1) legalább a közelében egy pont (1.2) eltér x. Egyébként azt mondják, hogy az egyediségét a megoldás a Cauchy probléma van törve.
A rendelkezésre álló funkciók függ egyediségét a differenciálegyenlet és nachalinyh x és y adatok.
1.2. mechanikus értelmében
2. Teljes és részleges megoldás az elsőrendű differenciálegyenlet
Az általános megoldás a differenciálegyenlet differenciálható függvénye y = j (x, C), amely, ha szubsztituált az eredeti egyenlet helyett funkciója ismeretlen felhívja a személyazonosságát egyenletet.
Tulajdonságai az általános megoldás:
1) Mivel a A folyamatos - tetszőleges értéket, az általános differenciálegyenlet végtelen sok megoldás.
2) Ha a kezdeti feltételek bármely x = x0. y (x0) = y0 létezik értéke C = C0. ahol az oldat a differenciálegyenlet függvénye y = j (x, C0).
Az oldatot y = y (x) minden pontján amely megőrizte az egyediségét megoldások a Cauchy probléma az úgynevezett egy adott megoldást a differenciálegyenlet.
Példa. Keresse az általános megoldás a differenciálegyenlet
Az általános megoldás a differenciálegyenlet kérik integrálásával bal és jobb oldalán az egyenlet, amely a korábban átalakítunk a következő: