Módszerek az explicit és implicit
A folyamat alkotó matematikai modell numerikus integrálással algebraization szükségszerűen magában foglalja azt a lépést, amely abból áll, hogy átalakítja közönséges differenciálegyenlet algebrai egyenletek. Ez alapján a módszerek egyike a numerikus integrálást.
Ha a differenciálegyenlet
és a kezdeti feltételek, a következő érték lehet integrálásával kaptunk (3.1):
Határozott integrál a (3.2) van számszerűen egyenlő a görbe alatti terület intervallumban (ábra. 3.2).
Körülbelül ez a terület lehet számítani, mivel a terület egy négyszög, amelynek magassága megegyezik a függvény értéke a bal határán intervallum, vagy az érték a jobb oldali határának az intervallum. Nyilvánvaló, hogy a területek mindkét téglalapok határolja fenti szegmens az 1. és 2. ábrán. 3.3 lesz a legközelebb a pontos értékét az integrál, az alsó az integrációs lépésben.
Behelyettesítve a (3.2) a közelítő értéke az integrál szerezhetők két képlet:
Expression (3.3) egy általános képletű explicit Euler módszer. Ez utal, hogy a módszer kifejezetten, mert az ismeretlen érték lehet közvetlenül számítjuk az ismert érték az előző pontban.
Formula (3.4) megfelel egy implicit Euler módszer. Itt, a jobb oldalon a kifejezést használják az ismeretlen értéket. így kiszámítható, hogy közvetlenül ez a képlet nem.
Egy pontosabb értékét integrál (3.2) biztosít trapezoid módszer, amely megfelel a 3 fokozatban ábrán. 3.3. majd
Ez a képlet természetesen is vonatkozik az implicit.
Kifejezett módszerek eljárással képződési modellek numerikus integrálással korlátozódik algebraization kezdeti differenciálegyenletek. Különösen egyenletben (3,3) nem igényel további változás és készen áll a használatra.
Implicit módszerek további intézkedéseket függ, hogy milyen módszerrel való megoldására nemlineáris egyenletek végrehajtani ezt a csomagot. Az egyik lehetőség az, hogy az Newton iteratív módszer, amely ismert, a legmagasabb aránya közötti konvergencia gyakorlatilag alkalmazott módszerek, és amelyben a rendszer ismételt megoldott linearizált algebrai egyenletek.
Ebben az esetben hajtja végre azt a második szakasz az előkészítés matematikai modellek implicit módszerek, ami a linearizálásával nemlineáris algebrai egyenletek, azaz a bővítési nemlineáris függvények Taylor-sor és megtartása csak eredményeként a lineáris tagok.
Legyen egy nemlineáris algebrai egyenletnek
ahol - a vektor változó.
Az expanziós (3.6) egy Taylor-sor megtartása csak lineáris tagok ad hozzávetőleges helyettesítő
ahol a kezdeti megközelítés, amelyre a változók értékei vesznek az előző lépésben az integráció;
- az ismeretlen változó értékét az integrációs lépést.
Expression (3.7) felírható lineáris algebrai egyenlet
ahol - kiszámítjuk ismert változók értékét az előző lépésben az integrációs;
Így általánosságban, nem-lineáris rendszerek numerikus szimuláció módszerek implicit a kialakulását és a felbontás minden egyes lépésében az integrációs rendszer lineáris algebrai egyenletek
komponenstől, és amely magában foglalja a topológiai egyenlet szimulált áramkör. Ugyanakkor, eljárások algebraization linearization azonban csak az alkatrész az egyenlet, mivel a topológiai algebrai egyenletnek mindig egyenes.
Tekintsük a példát társított előállítására egy modellt a numerikus megoldás nemlineáris másodrendű differenciálegyenlet
Az első lépés az, hogy csökkentse ezt az egyenletet a Cauchy probléma, azaz a rendszer az elsőrendű egyenletek bevezetésével egy új változót:
Explicit formulák formájában van jelen Euler módszer
Implicit képletű felírható a következőképpen:
Hogy megy a mátrix jelöléssel elvégzi átalakítások sora:
Mátrix jelöléssel formában van
Általános képletű (3,7), általában, kell használni iteratív. A megoldás Ennek az egyenletnek találhatók egy adott kezdeti közelítését. Meg kell használni, mint a következő közelítés (3.7), és ismételje meg kialakulása és oldatot lineáris egyenletek, amíg két egymást követő közelítések nem lesz közel egy adott pontossággal. A numerikus szimuláció segítségével csak egy ismétlés, válasszon egy kellően kicsi integrációs lépést, és az a tény, hogy a változók értékét az előző lépésben egy jó közelítés.
3.2.3. A választás közötti explicit és implicit módszerek
Az eljárások műszaki rendszerek szimulációs
A választás között explicit és implicit módszerek komoly probléma. Sok szakértő úgy implicit módszerek nagyobb teljesítményű és sokoldalú eszköz műszaki rendszerek szimulációs probléma [23, 15]. Azonban meg kell jegyezni, hogy csak a közelmúltban jelent meg elég erős és sokoldalú számítógépes modellezés, mint például a MATLAB vagy Bauman [17], amely lehetővé teszi kiválasztani a implicit vagy explicit módszer a probléma megoldására. Korábban használt explicit vagy implicit módszerek, hiszen ez szükséges a különböző komponens modellek.
A modern megjelenésű automatizált rendszerek modellezése, szimulálására alkalmas technikai rendszereket alkalmaznak, mint a szabály, implicit numerikus integrálási módszerek. Implicit módszerek jobban megfelel a megoldására rendszerek differenciális és algebrai egyenletek, mellett stabilabbak. Ennek eredményeként, annak ellenére, hogy a magas költségek számítógép idő minden egyes lépésében integráció hozható összefüggésbe, hogy megoldják a lineáris, a teljes költsége jelentősen kisebb növekedése miatt az integrációs lépést, és csökkenti a lépcsőfokok számát.
Úgy véljük, ez a jellemző implicit A példában leírt eljárásokkal az explicit és implicit Euler módszer [21], által meghatározott képletek (3.3) és (3.4), illetve.
Alkalmazzuk a megadott képlet numerikus integrálása a legegyszerűbb lineáris differenciálegyenlet
A karakterisztikus egyenlet dinamikai rendszer formájában
ahol - az állandó rendszer időt.
Egypólusú rendszer a bal félsíkban tehát az eredeti rendszer stabil. Ennek megfelelően minden olyan megoldás, a. Ez nullához.
A különbség egyenlet megfelelő numerikus megoldása Euler explicit módszer van írva, mint
Ismeretes, hogy a stabilitási feltételt azáltal érjük el a különbséget egyenlet
Ez azt jelenti, hogy a döntéseket is minőségileg változtatni a forma a megoldás, hogy egyenletes folyamat instabil.
Így, az integráció lépés kiszabott korlátozás nyilvánvaló - nem lehet több, mint egy állandó rendszer idő, egyébként diszkrét közelítés instabillá válhat. Ha a rendszer számos rendszeres időben, ez a korlátozás vonatkozik az integrációs lépést a legkisebb időállandó.
Az átmenet a módszerek magasabb rendű csekély hatása van a képen. A Runge - Kutta 4. érdekében a stabilitási követelménynek, korlátozza a lépés értékét. vagy, egy általánosabb formában. ahol - a maximális sajátértékei a Jacobi mátrix [29].
Használata implicit Euler módszer ugyanazt a rendszert ad
ahol a lépés méretkorlátozás másképp néz ki:
amely lehetővé teszi, hogy válasszon a lépés nagysága, mely kizárólag a szükséges szintű hiba.