Az aszimptotikus függvények viselkedését össze végtelenül funkció - problémamegoldás, ellenőrzés
Összehasonlítása aszimptotikus viselkedésének végtelenül kicsi funkciók
aszimptotikus viselkedése (vagy aszimptotikus) függvény egy olyan környéken, egy pont a (véges vagy végtelen) karaktert értik megváltozik a funkciója, mint az érvelés x erre a pontra. Ez a viselkedés általában megpróbálja képviseli egy másik, egyszerűbb és a tanulmány a funkciók, amelyek a közelben és megfelelő pontossággal leírja a változás érdekes számunkra a funkciót, vagy értékeli a viselkedését az egyik fél, vagy egy másik. Ebben a tekintetben a probléma merül fel, az összehasonlítás megváltoztatja a természetét a két funkció a szomszédságában egy kapcsolódó szempont a hányadosa. Különösen érdekesek azok az esetek, amikor az x és mindkét funkció vagy végtelenül kicsi (infinitezimális), vagy végtelen nagy (bb). 10.1. Összehasonlítás végtelenül funkciók fő célja az összehasonlítás, végtelenül funkció összehasonlítani a karakter való közelségük nullára x egy, vagy konvergencia sebessége nulla. Let BM x függvényében (i) és P (x) értéke nullától eltérő bizonyos törölve szomszédságában (a) az A pont és a pontot, és ezek nulla vagy nincs meghatározva. Definíció 10.1. Funkció a (X) és 0 (X) nevezzük infinitezimális Egy Ahhoz, hogy egy rekord, és og (k) = O (/ ( „)?) (olvassa el a karakter "nagy"), ha van egy nem zéró véges határa az arány a (x) // (? I), azaz Nyilvánvaló, majd szerint (7,24), TWI € R \, és jogos rekord x ^ a0 [a (x)) Körülbelül szimbólum egy tranzitív, azaz ha -. Valóban a meghatározása 10.1, valamint tulajdonságaik a termék a funkciók (lásd. (7,23)), amelynek véges (ebben az esetben nem nulla) határok kapjunk aszimptotikus viselkedésének. összehasonlítás infinitezimális funkciókat. meghatározás 10.2. a funkció egy (X) nevezik b. m. több Az extrém nagyságrenddel képest (3 (x) (vagy relatíve / 3 (x)) x egy és rögzített) (a szimbóluma olvasni io alacsony, ha van egy nulla határát az arány, és ebben az esetben azt mondjuk, hogy a funkció használatakor .m. kisebb nagyságrendű, mint egy olyan (x) x egy, a szó kicsinysége általában elhagyható (például abban az esetben magasabb rendű meghatározásánál 10,2). Ez azt jelenti, hogy ha lim (a funkció /> (x) ez meghatározott 10,2 um egy magasabb rendű, mint egy (x) x a és (I) az infinitezimális egy alacsonyabb sorrendű, összehasonlítva a / 3 (x) az x és, erre az esetre lijTi (fi (x) / OT (x)). Így felírhatjuk tétel szerint 7,3, a kapcsolat funkció, a határt, és végtelenül funkciója (10.3), amely OT) - funkció, BM címen. Ennélfogva, a (X). azaz érték | a (s) | x, közel egy sokkal kisebb, mint az értékeket \ 0 (x) \. Más szóval, a függvény egy (X) nullához gyorsabb, mint a funkció / (x). Tétel 10.1. A termék bármely infinitezimális ha X és a funkciók a (X) és F (x)> nullától eltérő a szomszédságában egy kilyukadt, ha x értéke infinitezimális és ¥ funkciója a magasabb rendű, mint az egyes tényezők. Sőt, definíció szerint, 10,2 um magasabb rendű (a meghatározása 7,10 um funkció), az egyenlőség azt jelenti, érvényességét a tétel. Egyenlőség tartalmazó szimbólumok O és O, néha aszimptotikus becsléseket. Meghatározás 10.3. Funkciók OT (x) és / 3 (x) az említett infinitezimális páratlan x - ¥, és ha nincs sem véges, és nem is végtelen határ a kapcsolat, azaz ha $ lim (x) / 0 (X) (p £ vnokak $ lim 0 (x) / (x)). 10.1 példa. a. A (x) = az x és / (x) = sin2ar definíció szerint 10.1 - BM Az ugyanabban a sorrendben, mint x 0, hiszen tekintettel (b. 1 és funkciója, és ha X jelentése infinitezimális magasabb rendű x
1> azaz Yap AO = (a: p "1 *), mint lim (Xa / x" 1) = Ha szükséges, pontosabb összehasonlítás viselkedési jellemzők infinitezimális funkciók -► x és az egyikük a kiválasztott egyfajta referencia és hívja meg az alap. Persze, a választás az alapvető infinitezimális egy bizonyos mértékig önkényes (hajlamosak választani egyszerűbb: X x- * 0, x-1, ha x -41; 1 / x x -> oo és hasonlók). Fok 0K (x) a fő infinitezimális funkció /> (x) különböző indexek k> 0 (k = 0 0K (x) nem infinitezimális) tartalmaznak tie-összehasonlítás értékelési bonyolultabb infinitezimális működni a (z). Definíció 10.4. A funkció a (z) nevezzük infinitezimális k-edik rendű kicsinység a (3 (x) x egy, és a szám k - sorrendben kicsinység, ha a funkció a (z) és / Zk (x) végtelenül ugyanabban a sorrendben, mint az X a), azaz . Ha a szó „kis” ebben az esetben általában nem alkalmazunk Megjegyzés: 1) az eljárás működjön képest infinitezimális egymáshoz lehet bármely pozitív egész szám, és 2) ha a funkciók sorrendjének a (X) képest / 3 (x) k-val egyenlő, az, hogy a F (x) tekintetében a (x) egyenlő 1 / k 3) nem mindig a végtelenül függvény a (x) is hasonló minden hatáskörét / * (x), akkor meg egy bizonyos sorrendben a ?. példa 10.2 és cosx funkciót, definíció szerint a 10,4, - .. um érdekében k = 2 képest 0 (x) x = x 0, hiszen tekintettel b Tekintsük függvények mutatják, hogy bármely szerint ugyanis (.. 7,32). Így, infinitezimális mint X - »+ 0, a funkció a1 / 1 összehasonlítható x * Bármely K> O, de ez a funkció határozza meg a sorrendben a kis mérete tekintetében x nem tudja meghatározni a sorrendben # egy BM funkciót képest a másik nem. . mindig csak lehetséges ajánlani teendők: 1) levelet határ alatti arány (x) / 0K (x) \ 2) elemzi a felvett attitűdök és próbálja egyszerűsítése, valamint 3) alapján az ismert eredmények javaslat egy lehetséges értéke k> ahol lesz egy nem nulla véges határérték; 4) a hipotézist ellenőrizzük, kiszámítva a határértéket. Példa 10.3. Határozzák meg a sorrendben infinitezimális funkció TGX - sin x x ha x - »• 0; találunk számos k>, hogy Van aszimptotikus viselkedését. Összehasonlítás végtelenül funkciókat. Ebben a lépésben, tudva, hogy a x 0, szerint (7,35) és a (7,36), (sinx) / x 1 és cosx -> 1, és figyelembe (7,23) és a (7,33), lehet meghatározni, hogy a (10.7) akkor teljesül, ha k = 3. Valóban, közvetlen számítása határ k = 3 értéket kapunk a = 1/2: vegye figyelembe, hogy k> 3, megkapjuk a végtelen határ, és ha a határérték nulla.