Cikk algebra (Grade 10) „geometriai értelmezése a komplex számok
Az elméleti anyagot a tárgya „A geometriai értelmezése a komplex számok. Vzaimosvyae műveletek komplex számok és átalakítások a gép "
1. Geometriai kép egy komplex szám.
Köztudott, hogy a valós számok is képviseli pontok száma vonalat. Ugyanakkor, minden valós szám megfelel egy egyedi számot vonal pontot. Például, a tényleges száma megegyezik az A ponthoz, található a jobb oldalon a kezdőponttól O régióban hosszegységekben; a tényleges száma -2 megfelel a B pont a bal oldalon a O pont két távolság egység hosszúságú; A tényleges száma megegyezik a C pontban a jobb oldalon a távolság hosszegységekben (1. ábra) Fordítva, mind a valós vonal megfelel egy bizonyos valós szám.
Például, a B pont felel meg a racionális számokat és -2, és C pont - irracionális szám.
Így a valós számok halmaza van egy-egy levelezés a több pont a számegyenesen.
Csakúgy, mint a valós számok pedig egy pont a számegyenesen, komplex számok is geometriailag képviseli a pontokat a gépet.
Hagyja, hogy a sík derékszögű koordinátarendszer definiálva. Egy komplex szám képviseli egy pontjának koordinátája síkban (2. ábra).
Minden pont a sík koordinátái meghatározott. Ezért minden egyes ponton szerint választjuk síkban fog megfelelni a komplex szám.
Például, egy pont A koordinátákra (2, 3) számának felel meg a 2 + 3i, B pont koordinátái (-1, 1) - száma -1 + i, a pont koordinátái (4, 0) - száma 4 + 0I, és D pont koordinátái (0, -2) - száma 0-2i (3.ábra).
De történhetett ez, hogy egy és ugyanazon a ponton a gép, például pont. illeszkedik a különböző komplex számok. Például, és. Ha ez így lenne, mi lett volna; . Itt van. De ebben az esetben, a számok, és nem lenne egyenlő egymással. Tehát minden komplex szám megfelel egy pont a síkban koordinátákat, és fordítva, minden pont a síkban koordinátáit megfelelő csak a komplex szám.
Így a készlet komplex számok egy-egy levelezés több pont a síkon.
Ebben az értelmezésben a valós számok. azaz komplex számok formájában egy + 0I. képviselik pont koordinátái (x 0), azaz pontok az x tengely. Ezért a vízszintes tengelyen az úgynevezett valós tengelyen. Tisztán imaginárius számok bi = 0 + bi képviselik pontok koordinátái (0; b), azaz ordináta pontok, úgynevezett y tengely a képzetes tengelynek. Ezen a ponton a koordinátái (0; b) jelöljük bi. Például, az a pont (0, 1) jelöljük i, az a pont (0, -1) - ez az a pont - i, az a pont (0, 2) - egy pont 2i. A származási - egy pont O (ris4).
A repülőgép, amely ábrázolja a komplex számok az úgynevezett komplex síkon.
Z és -z pont szimmetrikus az O pont (eredete), és a pontot Z és szimmetrikus az valós tengelyen. Let. Aztán. . Point z és rendre van koordinátái (a, b) és (-A; -b), így ezek szimmetrikus az eredetét. A pont koordinátái (a; -b), ezért szimmetrikus a Z pontból a valódi tengelynek (5. ábra).
Bijekciót vezet a következő geometriai értelmezése a komplex számok, mindegyik komplex szám képviseli geometriailag a síkban, mint az A pont (a, b), vagy a vektor
kezdve a származási és befejezve a ponton A koordinátákra (a; b) (6. ábra).
Használata geometriai képek a komplex számok vektorok alkalmazásával könnyű, hogy egy geometriai értelmezése a összeadás és a kivonás a komplex számok.
2. Geometriai kép összege a komplex számok.
Tekintsük a geometriai értelmezése kívül két komplex szám. A számok összege a szám Tekintsük a vektorok. vége, amely pontban. . vége, amely pontban. és. vége, amely pontban. egy pontjából kilépő O. A vektor egy átlós a paralelogramma (7. ábra).
Így, a mellett a komplex számok, és lehet értelmezni, mint egy szabály, a mellett a szabály alapján a paralelogramma megfelelő vektorok.
3. A geometriai kép a különbség a komplex számok.
Vektorok, komplex számok képviselő szemközti és. szimmetrikusak tekintetében a származási, mivel a végei ezen vektorok - az M pont (a; b) és az N (-A; -b) - szimmetrikus a származási (8. ábra).