Építése fázis portrék
Térjünk vissza a modell a mechanikai rendszert példában leírt módon a 3.1. Az egyenlet egy nemlineáris modell
.
A másodrendű egyenlet mehet az autonóm rendszer az űrlap
,
Ha most a rendszer, hogy megszüntesse az idő t, megkapjuk a differenciálegyenlet trajektóriájának fázisában síkban
átírhatjuk az utolsó egyenlet az alábbiak szerint:
Ezután feltéve, hogy az is. integrálása után az egyenlet a tartományban, hogy megkapjuk az esélyegyenlőségi
amely lehet újraírni az alábbiak szerint:
Megjegyezzük, hogy
- formula a benne rejlő energiát. Így az egyenlet fejezi ki a törvény az energiamegmaradás:
ahol - az összes energia a rendszer.
Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlet - az egyenlet a fázis pályáira nemlineáris konzervatív rendszer, hiszen integrálásával kaptunk egyenlet
Így, különböző értékeket a fázis E síkban megfelelnek a különböző görbék állandó energiájú. Helyhez pontok a rendszer azok a pontok, M * (x *, 0), ahol x * - gyökerek. Ebben az esetben, ha az átírási a törvény az energiamegmaradás formájában
könnyen lehet fázisban pályákat.
Vezetett általános szempontok lehetővé teszik, hogy vizsgálja meg a mozgásegyenletek az inga a környezetben ellenállás nélkül, amely a forma
. ahol - egy pozitív konstans.
Mivel az egyenlet egy speciális esete az egyenlet. lehet értelmezni, mint a leíró egyenletet lineáris mozgás az egység testtömeg súrlódás nélkül az intézkedés alapján nemlineáris rugó, ahol a visszaállító erőt egyenlő. Ebben az esetben, az önálló rendszer, amely megfelel az egyenlet, írott formában
Egyes pontokat itt lesz differenciálegyenlet-rendszert fázis pályáira formájában fog
Elválasztása a változók végső egyenlet és integrálása, megkapjuk az egyenlet a fázis pályáira
Az utolsó egyenlet egy speciális esete a törvény az energiamegmaradás, hol. és a potenciális energia adja
Határozzuk meg az értéket. tudjuk felvázolni egy vázlatos képet a viselkedését a pályákat a fázis síkban, ha használjuk az arány.
Az így kapott fázist portré mutatja (ábra. 3.3), hogy ha az energia változott előtt. a megfelelő fázisra pályák vannak zárva és az egyenletnek periodikus megoldásokat. Másrészt, ha. a megfelelő fázisra pályákat nem zárt, és az egyenletnek periodikus megoldásokat. Az érték a fázisban sík az fázis röppálya, amely elválasztja a két különböző típusú mozgás, egy ilyen pálya az úgynevezett szeparatrixokat. Hullámos fázisú pályákat kívül fekszik szeparatrixokkal megfelelnek a forgómozgásának egy inga, és zárt pályákon található körülhatárolt területen szeparatrixokkal - a rezgőmozgás.
Ábra. 3.3. A fázis portré a nemlineáris konzervatív rendszer
A 3.3 ábra látható, hogy a környéken a fix pont. ahol a fázis pályák viselkedése eltér a viselkedését a fázis pályák szomszédságában a fix pont. ahol
Nézzük, mi befolyásolja a viselkedését a fázis pályáira a konzervatív rendszer lineáris súrlódás. Ebben az esetben az egyenlet
Ábra. 3.4.Fazovye portrék konzervatív rendszerek súrlódás
Egy ilyen rendszer lesz, nem konzervatív. Ha a súrlódás elég kicsi ahhoz, vagyis lehetséges rezgések az inga képest az egyensúlyi helyzet, ki lehet mutatni, hogy a fázis trajektóriák amint azt vázlatosan a 3.4 ábra, a. Ha a súrlódási megakadályozza az esetleges rezgés az inga képest az egyensúlyi helyzet, a minta a fázis pályák lesz a ábrán bemutatott formában. 3,4, b.
Ha most összehasonlítjuk a fázis portré egy konzervatív rendszer utolsó két fázisban portréi nem konzervatív rendszerek, akkor látható, hogy a zárt szakasz pályáját az alacsony súrlódású, beköltözött egy spirál, és egy erős súrlódás - az utat, amely része a szinguláris pontok bizonyos irányban.
Ábra. 3.4.Fazovye portrék rendszerek súrlódási: - csekély súrlódás; b - nagy súrlódású
