Limit és a folytonosság a trigonometrikus függvények, a folytonosság a szinusz és koszinusz

Folytonosság a szinusz és koszinusz

Szinusz és koszinusz ennek a kapcsolatnak, ami által meghatározott a derékszögű háromszög, és az oldalán a háromszög érték hegyesszög.

Itt egy grafikont a szinusz és koszinusz x x
-Mi tekintettel a szöget radiánban
-Ehelyett fogjuk használni a θ x

g (x) = cos (x)

Nyilvánvaló, hogy mivel h nullához közelít, a koordinátákat P keresik a megfelelő koordináták B.

De definíció tudjuk, hogy
sin (0) = 0, és cos (0) = 1
függvényértékeket egybeesnek határok x tart 0 (emlékeztet a meghatározás a folytonosság, hogy van).
limx → 0 sin (x) = sin (0) = 0 limx → 0 cos (x) = cos (0) = 1 Ebből kapjuk a következő tétel
DEFINÍCIÓ 2.7.1
Azt mondják, hogy az f (x) folytonos a c pont, amikor a következő feltételek mindegyike teljesül
-f (c) van definiálva
-limx → c f (x) létezik
-limx → c f (x) = f (c) A tétel 2.8.1
Funkciók sin (x) és cos (x) - a folyamatos
bizonyíték
Legyen H = x - c. Ennélfogva az x = h + c. Ezután X → c egyenértékű az a követelmény, h → 0
A f (x) folytonos a C, ha a következő feltételek teljesülnek:
-f (c) meghatározzuk
-limh → 0 f (H + c) van
-limh → 0 f (H + c) = f (c) Tegyük fel, hogy
limx → 0 sin (x) = 0, és limx → 0 cos (x) = 1
A folytonosság az első két feltétel teljesül. Most meg kell mutatni, hogy a
limh → 0 sin (c + H) = sin (c)
most
limh → 0 sin (c + H) = limh → 0 [sin (c) cos (h) + cos (c) sin (h)] = limh → 0 sin (c) cos (h) + limh → 0 cos ( c) sin (h) = sin (c) limh → 0 cos (H) + cos (c) limh → 0 sin (h) = sin (c) (1) + cos (c) (0) = sin (c ) folytonossága más trigonometrikus függvények
tan (x) = sin (x) / cos (x)
tan (x) folytonos mindenhol, kivéve, ahol cos (x) = 0, ami azt jelenti,
X = ± φ / 2, ± 3φ / 2, ± 5φ / 2. = ± kφ / 2 (k = 1, 3, 5) Hasonlóképpen, a
gyermekágy (x) = cos (x) / sin (x)
sec (x) = 1 / cos (x)
COSEC (x) = 1 / sin (x)
azok folyamatos a mindenkori időközönként, folyamatos sin (x) és cos (x). Kifelé tömörítés
Fogjuk használni a tömörítés elméletet (a két rendőr), hogy megtalálja a korlátokat
limx → 0 sin (x) / x = 1
limx → 0 [1 - cos (x)] / x = 0. Tekintsük a gráf

és a menetrend
Itt van a probléma:
- Amikor x nullára, és a felső és alsó részét a funkció hajlamos zérus felé.
- sin (x) nullához, ez azt jelenti, hogy általában a frakció nullához.
- x nullához azt jelenti, hogy a funkció, mint egész hajlamos + ∞. De nem tudjuk összerakható funkciókat más formában, algebrai módszerekkel megoldani ezt a problémát. Mi más módszert alkalmaznak. Az egyik ilyen módszer alkalmazásával állítottuk elő az alábbi tétel: Tétel kompressziós (közrefogási elv)
Legyen f, g és h jelentése függvény kielégíti g (x) ≤f (x) ≤h (x) minden x néhány nyílt intervallumban, amely tartalmazza a pont. azzal a lehetséges kivétellel, hogy nem tart azon a ponton.
Ha G és H azonos határértékek x hajlamos egy, mondjuk
limx → egy g (x) = limx → egy h (x) = L
akkor f is van egy határa, ha x tart egy, azaz s
limx → egy f (x) = L példa:
Tömörítést használó tétel találni
limx → x 0 2 sin 2 (1 / x)
döntés
Mivel 0 ≤ sin (x) ≤ 1, majd 0 ≤ sin 2 (x) ≤ 1 és 0 ≤ sin és 2 (1 / x) ≤ 1
Megszorozzuk ezt az egyenlőtlenséget az x 2
0 ≤ x 2 sin 2 (1 / x) ≤ x 2
De limx → 0 0 = limx → 0 x 2 = 0
Ezután szerint a kompressziós tétel
limx → x 0 2 sin 2 (1 / x) = 0 Mielőtt bizonyítva a következő tétel, azt látjuk, a következő képlet szerint.
A bizonyítás fogja használni az alapvető tényeket az kerülete és területe ágazatok szöget radiánban θ r sugarú

A terület a szektor definíciója
A = (1/2) .R 2 θ A tétel 2.8.3
limx → 0 sin (x) / x = 1
Tegyük fel, hogy x értéke olyan, hogy 0 2 .x = (1/2) x
területe δOBQ = (1/2) base.height = (1/2) (1) .tan (x) = (1/2) tan (x) tehát, a fenti egyenlőtlenség átalakul
0 használata Tétel kompressziós vezet
limx → 0 cos (x)