Integrálása tényező a közönséges differenciálegyenlet
Közönséges differenciálegyenlet nevezzük az egyenlet formájában
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0)
bal oldali része, amely a teljes eltérés mintegy funkció
U (x, y), azaz a dU (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy.
Emlékezzünk, hogy a teljes eltérés a funkció U adják
Teszt állapot egyenlete betartását a teljes eltérés adják
(1)
Egyenlet összefoglaló DR teljes differenciálművek
Bizonyos esetekben, a függőség
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
nem egy közönséges differenciálegyenlet, nem a feltétel (1). Azonban van egy funkciója a „MU”, hogy ha nem szaporodnak az eredeti egyenlet megkapjuk a közönséges differenciálegyenlet.
A szükséges és elégséges feltétele az, közötti egyenlőség részleges
„Mu” funkciót hívjuk integráló tényező.
Így mellett ellenőrizzék relatív funkciók u (x, y) a gyakorlatban kell oldani egy differenciálegyenlet részleges deriváltak integráló tényező.
De még mindig az a kérdés marad, hogyan lehet megtalálni egy integráló tényező?
Hogyan talál egy integráló tényező?
Elméletileg a hagyományos technikákat fejlesztettek ki és integráló tényező kell törekedni formájában
ahol a „omega” - ismert funkciója egy vagy két változó között.
Ebben az esetben, megkapjuk
Behelyettesítése után a feltétellel, hogy a teljes eltérés
Szét a változók az utolsó sorban
Integrálása, és meghatározzák a folyamatos integráció nullának lelet integráló tényező
Tekintsük különleges esetekben.
1) Legyen a „omega” egyenlő az érvelés. Aztán, néhány részleges származékok nullával egyenlő, és az integráló faktor az alábbi képlet szerint
2) Ha az „omega” sima képlet számított y integráló tényező az űrlap
3) Abban az esetben, ha a „omega” az az összeg, négyzetes különbségek vagy változók integráló tényező a következő képlettel
4) És ha van egy termék variáns változók meghozta a következő függés meghatározására mu
Származtatása képlet integráló tényező gyakorlat nélkül nem fog tanulni semmit, ezért úgy véljük, a probléma az ellenőrzési munka, amelyen látni fogja a lényege az összes fenti képletek. Példák kérték, a Lviv Nemzeti Egyetemen. Franko.
Közönséges differenciálegyenlet. Cauchy probléma.
1. példa Hogy oldja meg a differenciálegyenlet és Cauchy probléma
Megoldás: Írunk az együtthatók a különbségek
és ellenőrzést végzünk, hogy a teljes eltérés a függvény két változó állapot
Mint látható, a bal oldalon az egyenlet nem teljes eltérés (a feltétel nem teljesül). Mi ellenőrizni fogja, hogy a differenciál szorzó révén uravnenieintegriruyuschy
A jobb oldalon látható, hogy ez az egyenlet lehetővé teszi az integráció tényező, és ez csak attól függ, y.
Találunk integráló tényező differenciálegyenletek és elválasztott változókat
Miután megszorozzuk az összes feltételt talált a integráló tényező „mu” (), megkapjuk az elsőrendű DN
Ha újra Önellenõrzéssel, most az állapot a teljes eltérés a funkció végrehajtásakor
Ezután a kapott kontroll dönti, abban az esetben a hagyományos teljes eltérés. Mi integrálja a második kifejezés az y
Ne feledje, a szabály - ha az integráció megy y, az acél függ a „X”. és fordítva.
Acélból készült, amely belép az egyenlet határozza meg, hogy kiszámítjuk a parciális deriváltja a talált megoldást „X” és egyenlővé egy tényező vezérlő, amikor dx.
Ezért találunk egy konstans
Tekintettel a fenti, írunk általános integrálja differenciálegyenlet
A feladat az, hogy talál egy részleges megoldás (Cauchy probléma). Ehhez írja le egy további feltétel a funkciót, és meghatározza acél
Ezért van egy részleges megoldást a differenciálegyenlet
Ez még megírva implicit formában, de megtalálható a függőség a függvény y változó (x) ebben az esetben:
- részleges megoldást a differenciálegyenlet.
2. példa megtalálja a megoldást a Cauchy probléma
Megoldás: Írja előre meghatározott elsőrendű differenciálegyenlet a különbségek
Következő, ellenőrizze, hogy az összes eltérés van, írunk tényezők
és megtaláljuk a parciális deriváltjai
Az a feltétel a teljes eltérés nem kerül végrehajtásra.
Mi ennek ellenőrzésére egyenlet nem teszi lehetővé integráló tényező
Úgy látjuk, hogy ez az egyenlet lehetővé teszi integráló tényező, amely attól függ, csak az y. Úgy találjuk, hogy integrálja egyenlet
Miután megszorozzuk az összes feltételt talált integráló tényezője az eredeti távirányító átalakul
amely megfelel a közönséges differenciálegyenlet
Hogyan lehet megoldani ezt az egyenletet már tudja, hogy az áttérés az integrációs könnyű második dodanka (közel dx)
Ahhoz, hogy meghatározza az idő - keresi a parciális deriváltja u a „X” és egyenlővé a második tényező a teljes eltérés
Ez idő függvényében nem állandó és egyenletes telepíteni, meg kell találni néhány integrálok
A teljes szerves A differenciálegyenlet C (X) lesz helyettesítve
Nézzük megoldani a Cauchy probléma ellenőrzés
Így van
- részleges megoldást a differenciálegyenlet.
3. példa megtalálja a megoldást, hogy az egyenlet feltéve Cauchy
Megoldás: átírni kontroll miután festett származék differenciálművek
Következő eljárva eljárás szerint az ilyen egyenletek.
Írunk szorzók mellett differenciálművek
Mi ellenőrizze a teljes eltérés funkció
A feltétel nem teljesül. Ellenőrizze, hogy az integráló tényező teszi lehetővé ez az egyenlet?
Mint látható, a jobb oldali függ y, hogy az egyenlet elismeri integráló tényező.
Úgy találjuk, hogy a Vezérlő
Miután megszorozzuk az összes feltételt a egyenletet integráló tényező „mu” megkapjuk a következő egyenlet
A feltétel megerősíti a teljes eltérés
().
Ezután alkalmazzuk a technikát, hogy ellenőrizzék a teljes eltérés. Az integráció az első ciklus az egyenlet találjuk a u (y)
Ezután kiszámítjuk a parciális deriváltjai u (x, y) az „X”
és hasonlítsuk össze a kezdeti parciális deriváltja egyenlet
Ez könnyű találni itt egy folyamatos
Visszamegyünk, és írjon általános integrálja differenciálegyenlet
By hipotézis, meg kell találni a részleges egyenlet megoldása (megoldja a Cauchy probléma). Mert etogoopredelyaem a függvény értékét azon a ponton,
A konstans értéke 2, és egy részleges megoldás kontroll
Az egyértelműség kedvéért, megtaláljuk a választ (fordított) függvény x (y).
- részleges oldatát
Gyönyörű válasz ellenére sok változás és integrál.
Ezekből választ kapott hasznos számítási utasításokat. A teszt a megszerzett tudás függetlenül megoldható az egyenlet segítségével integráló tényező
Stay tuned, még mindig van egy csomó kész példát differenciálegyenletek.