csoport izomorfizmus
Definíció és jelölés
Ha adott két csoport (G. *) és (H. ∘), egy csoport izomorfizmus a (G. *) a (H. ∘) - jelentése bijektív csoport homomorfizmus G-ről H. Más szavakkal, egy csoport izomorfizmus - egy bijektív f függvény . G → H. úgy, hogy minden u és v a G végzett
Két csoport (G. *) és (H. ∘) izomorfak ha létezik egy izomorfizmus az egyik a másikra. Ez van írva a következő:
Gyakran használják a rövid és egyszerű felvételt. Ha csoport művelet nem vezet kétértelműség, hagyjuk őket:
Néha egyszerűen csak írni G = H. nem vezet, ha egy ilyen rekord zavart és kétértelműséget függ a kontextustól. Például, a használata egyenlőségjel nem nagyon alkalmas, ha a két csoport alcsoportjai ugyanazon csoport. Lásd az alábbi példákat.
Ha adott előadó (G. *), és több H bijekciót f. G → H. tudjuk, hogy a H-csoport (H. ∘), meghatározzuk
Szemléletesen, két csoport izomorf, ha bármely csoport elem g G létezik egy elem H Csoport H., amely „viselkedik azonos módon„, mint g (kölcsönhatásait más csoport elemeit ugyanolyan módon, mint hogy g). Például, ha g generálja az egész csoport, nem ugyanaz a dolog, és h. Ezért, különösen a G és H-nak az egyhez megfelelés. Így a meghatározása izomorfizmus egészen természetesen kifejezi a csoport tulajdonság, hogy egyenértékűek.
Egyes csoportok is be lehet bizonyítani a izomorfizmus alapuló axióma a választás. de az ilyen bizonyítékok nem látható, hogyan kell építeni egy konkrét izomorfizmus. példák:
gyűrűs csoportok
Ha (G. *) van egy végtelen ciklusos csoport. majd (G. *) izomorf az egész számok (kívül). A algebrai szempontból ez azt jelenti, hogy a készlet minden egész számok (felül) az egyetlen végtelen ciklusos csoport.
Minden véges ciklusos csoport adott megbízás izomorf (Z n. +) _, +)>.
A meghatározás azt jelenti, hogy minden izomorfizmus f. G → H megjeleníti egy semleges eleme a semleges elem G H,
ami azt jelenti, hogy a fordított jelenik fordított,
és n -e n-edik fokozatot mértékben
minden u G., és hogy az inverz leképezési f - 1 H → G: H \ rightarrow G> is izomorfizmus.
Az arány a „izomorf” kielégíti az axiómák egyenértékűség kapcsolatok. Ha f izomorfizmus két csoport a G és H minden állítások igazak G. struktúrájával társított a csoport átvihetők keresztül f ugyanazon jóváhagyási H. és fordítva.
Izomorfizmus a csoport (G. *) önmagába nevezzük automorfizmusa ennek a csoportnak. Mivel izomofizm f. G → G jelentése bijektív,
Automorfizmusa mindig megjelenít egy semleges elem. A kép osztály osztály konjugáció mindig konjugáció (azonos vagy különböző). A kép a sorrendben, ahogy a tárgy maga.
A készítmény két automorfizmusok ismét automorfizmus, és ez a művelet a készlet minden automorfizmusaira G. jelöljük Aut (G), csoportot alkot automorfizmus csoportja G.
Minden Abel-csoport legalább automor figyelembe elemei a csoport inverzeik. Mindazonáltal, a csoport, ahol az összes elem egyenlő annak inverzét, automorfizmus triviális, mint például egy quad-csoport Klein (ebben a csoportban az összes permutációját három nem semleges csoport elemek automorfizmusainak, úgy, hogy a csoport izomorfizmus izomorf S 3 és Dih3).
A Z p a p prímszám. az egyik, hogy nem semleges, az elem helyettesíthető egy másik, megfelelő változásokat más elemeket. Automorfizmus csoportja izomorf Z p - 1. Például, n = 7, megszorozzuk az összes elemét Z7 3 (mod 7) egy automorfizmusa nagyságrendű 6 automorfizmus csoportja, mert 3 6 ≡ 1 (mod 7), és egy kisebb mértékben 1 nem ad. Így ez automor generál Z6. Van egy másik automorfizmusa az ingatlan - a szorzást az összes elem Z7 5 (mod 7). Így, ezek a két automorfizmusok megfelelnek az 1 elemek és az 5 Z6. ebben a sorrendben, vagy fordítva.
Z6 automorfizmus csoportja izomorf Z2. mert csak ez a két elem az 1. és 5. generál Z6.
A automorfizmus csoportja Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 nagyságrendű 168, amely igazolhatóan a következőképpen. Minden 7 elemek, amelyek nem semleges, játszani ugyanazt a szerepet, hogy mi lehet választani, aki szerepet tölt be a (1,0,0). Bármely, a fennmaradó hat lehet kiválasztani a szerepe a (0,1,0). Ez a két meghatározva, amely megfelel a (1,1,0 részt). (0,0,1), tudjuk választani a négy, és ez a választás határozza meg a fennmaradó elemekből. Így megkapjuk a 7 × 6 × 4 = 168 automorfizmusok. Ezek megfelelnek automorphisms Fano sík. 7 pont, amelyek megfelelnek az elemek 7, nem semleges. Vonalak a három pontot összekötő csoportnak megfelelő működését: a. b. és c az egyenes vonalon jelzik a + b = c. a + c = b. és b + c = a. Lásd még a teljes lineáris csoport Véges test fölött.
Az Abel-csoportok összes automor, kivéve a triviális, az úgynevezett külső automorfizmusok [en].
Abel-csoportok nem triviális belső automorfizmusok. és esetleg a külső automorfizmusok.
Herstein, I. N. Topics in algebra. - 2 kiadás. - Wiley, 1975 - ISBN 0-471-01090-1.
- ↑ Ash következtében az Axiom of Choice // Journal of the Australian Mathematical Society. - 1973. - V. 19. - P. 306-308.