Valószínűség és matematikai statisztika

előző ◈ a következő

Az elvárás az binomiális eloszlás egyszerűbb kiszámításához a képlet (4.4) M (X) = 3 np = # 8729; = 0,3 0,9. szórás # 963; 2 = D (X) = = NPQ = 3 # 8729, # 8729 0,3 0,7 = 0,63. Készítünk egy eloszlásának grafikonja (ábra. 4.1).

Ha m = l (lásd. Ábra. 4.1), a valószínűsége, eléri a maximális értéket. Valószínűségét frekvencia azt mondta, hogy a frekvenciát, amelynél a valószínűsége eléri a maximális értékét, és jelöljük m 0. Annak megállapításához, a legvalószínűbb szám a következő képlet segítségével:

Ez az egyenlőtlenség a t 0 csak egész szám lehet. Ha így tovább - egy egész szám, akkor m = 0 pr.

Példa 4.5. Annak valószínűsége, hogy egy csekket húzott az eladó fizeti, egyenlő 0,9. Mi a legvalószínűbb az ellenőrzések számának kerül kifizetésre, ha kiírjuk 40 csekket?

Határozat. Find a termék PR = 40 # 8729; 0,9 = 36 (egész szám), akkor m = 0 36. Azt találjuk, a T 0 általános képletű (4,9) 40 # 8729; 0,9-0,1 0 ≤ T ≤ 40 # 8729; 0,9 + 0,9; 35,9 ≤ m 0 ≥ 36,9. Ez megfelel a kettős egyenlőtlenséget 0 egész szám, m = 36.

4.5. Poisson-eloszlás

Poisson eloszlás (forgalmazási szabályokat ritka események) gyakran használják, ha van dolgunk számos eseményekre intervallumban térben és időben (az autók száma érkezik egy autómosó egy órát, a hibák száma az új szegmensben az autópálya, 10 km hosszú, az ülések száma vízszivárgás 100 km gázvezeték. gép megállások számát heti száma közlekedési baleset).

Ha a valószínűsége egy esemény Egy n külön, független vizsgálatok nagyon kicsi (p

ahol # 955; = Np; N - független kísérletek egy állandó kis valószínűsége p; e - bázis a természetes logaritmus (e = 2,71828); m - az előfordulások számát események (m = 0, 1, 2, 3.).

Segítségével az (4.10) felírható Poisson eloszlás törvény. Meg lehet írva, mint egy sorozat eloszlás (táblázat. 4.6), ha történt, m nem negatív egész értéke m = 0, 1, 2 N, kiszámítja a megfelelő valószínűségek Pn, m.

Poisson-eloszlás

Poisson törvényt lehet írott formában az eloszlásfüggvény: # 955; ke- # 955; / k!

ahol a jel azt jelenti, az összeg a valószínűségek Pn, m minden m n-nél kisebb.

A képlet (4,11), meg tudjuk határozni a valószínűségét egy esemény legalább egyszer n független vizsgálatokban. Mivel a valószínűségek Pn, m ≥ 1 és Pn, 0 a valószínűsége ellenkező események,

Formula (4.12) számítjuk valószínűségei esemény bekövetkezése legalább egyszer n független vizsgálatok, ha a valószínűsége esemény bekövetkezése az egyes tesztek állandó és nagyon kicsi, és a kísérletek száma elegendően nagy (n ≥ 20), t. E. Feltéve Poisson képletű alkalmazhatóságát (4.10).

A várható értéke és szórása a valószínűségi változó által forgalmazott Poisson törvény egybeesnek, és egyenlő a paraméter # 955;, amely meghatározza a törvény, hogy van. e.

(4.13) létrehozza a fontos elméleti és valószínűségi jelentését a paraméter # 955;. Az események sorozata előforduló véletlenszerű időpontokban, az úgynevezett adatfolyam az események (például egy hívás az alközpont).

A következő feltételeknek kell teljesülniük.

Az előfordulási valószínűsége az esemény azonos bármely két intervallum egyenlő hosszúságú.

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény jelenik meg egy rövid ideig (vagy térben), arányos az intervallumban.

Egy nagyon rövid intervallum a valószínűsége, hogy két esemény lesz a nullához közelít.

Annak a valószínűsége, hogy bármennyi események lesznek a tartományban nem függ a kezdete az intervallum.

A megjelenése vagy nem megjelenés események egy bizonyos tartományon belül nem függ előfordulását vagy nem megjelenése események bármely más intervallumban.

4.6 példa. Tegyük fel, hogy mi érdekli a kollektorok száma érkező reggel autóval a bank 15 percen belül. Ha feltételezzük, hogy a valószínűsége érkezését a jármű azonos bármely két időszak azonos hosszúságú az idő és az érkezési vagy nem-érkezés a jármű bármely adott időpontban nem függ az érkezési vagy nem érkezés bármely más időpontban, a szekvenciát gyűjtők marad a bank lehet leírni, a Poisson eloszlás.

Elemzés a korábbi adatok azt mutatták, hogy az átlagos száma gyűjtők érkező 15 perces időszak 10, majd # 955; = 10 kapjuk az F (t) = # 955; me - # 955; / m! = 10Me -10 / m. ha m = 0, 1, 2 ...

Ha meg akarjuk tudni a valószínűsége érkezése öt gyűjtők 15 percig, majd m = 5 jutunk: P (5) = 105e -10/5! = 0,0378.

Poisson valószínűség-eloszlás könnyebb kiszámítani, speciális táblázatok a Poisson valószínűségi eloszlás. Ezek tartalmazzák értékeit valószínűségek adott m és # 955;.

Példa 4.7. Tegyük fel, hogy mi érdekli a hibák száma, amelyek megjelentek egy adott szakaszon az autópálya egy hónap után kikövezve. Azt feltételezzük, hogy a valószínűsége a hibák azonos bármely két azonos hosszúságú szakaszból, és a megjelenés vagy nem megjelenése hibák bármely autópálya intervallum független a megjelenése hibák bármely más oldalon. Ezért, hogy megoldja akkor a Poisson eloszlás problémát.

Tegyük fel, azt találtuk, hogy a hibák száma egy hónap után aszfaltozás, átlagban egyenlő két kilométerenként. Nézzük mi annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos szakaszon az autópálya hossza 3 km, nem találtunk semmilyen hibát egy hónap múlva az aszfalton. Mivel mi érdekli a tartományban 3 km hosszú, a # 955; = (DEF 2 / km) + (3 km) = 6.

Ez - a várható hibák számát a három kilométeres szakaszon az autópálya. Ennélfogva ha egyenlet (4.10) vagy Poisson eloszlás táblázatból # 955; = 6 és t = 0, azt találjuk, hogy a valószínűsége hiányában
hibák három kilométeres út 0,0025. Az eredmény azt sugallja, hogy a hiánya hibák a cél útszakasz nagyon valószínűtlen. Annak a valószínűsége, hogy legalább egy hiba jelenik meg a három kilométeres újonnan kövezett út, 1-0,0025 = 0,9975.

Vegyünk egy példát. ahol a valószínűségek kiszámítása pontosabban Bernoulli képletű (4,1) és körülbelül Poisson képletű (4.10).

Példa 4.8. 25 független vizsgálati eljárás: egy előfordulási valószínűséget egy esemény A minden egyes 0,01. Construct száma eloszlása az X valószínűségi változó = m - az előfordulások számát esemény A. Annak a valószínűsége Pn, m Compute kétféleképpen történhet: Bernoulli-egyenlet és Poisson-formula. A kapott eredmények összehasonlítása és becslése hibák a közelítő képlet. A hipotézis, n = 25; p = 0,01; q = 0,99. Kiszámítjuk Pn, m, és csökkenti a táblázatban. 4. 7.

Összehasonlítása valószínűségek származó képletek

Bernoulli és Poisson

Valószínűsége összehasonlítás azt mutatja, hogy a Poisson valószínűségi képlettel számítottuk ki szinte egybeesik a számított értékek Bernoulli-egyenlet. A legnagyobb hibája az eredményeket alábbi képlettel számítottuk ki a Poisson 0,002.

4.6. hipergeometrikus eloszlás

Megvizsgáltuk a számítási módszerek valószínűségek események pontosan m-szer n független ismételt kísérletek (képlet alapján Bernoulli és Poisson). Most nézzük az esemény bekövetkeztének valószínűsége számítás pontosan m szer azzal függ ismételt vizsgálatok során. Egy valószínűségi változó, amely meghatározza a sikerek számát n ismételt vizsgálatok a függő, függ a hipergeometrikus eloszlás törvény.

Példa 4.9. Egy urn N labdák, amelyek között a K és a fehér (N-K), fekete. Anélkül, a visszatérés a visszanyert n golyó. Definiáljuk a valószínűsége, hogy egy minta mérete n golyó lenne m fehér (és ennek megfelelően n-m vas) golyót. Ábrázolják a helyzet a rendszer:

A valószínűségi változó az érdeklődés, X = t - a szám a fehér golyó a minta térfogata n golyó. A számát minden lehetséges esetben a kiválasztási n golyó N a kombinációk száma N N (CNN), és a szám a válogatott eseteket m fehér golyó áll a fehér golyó (és ennélfogva az n-m fekete golyó a N-K álló fekete) egyenlő a termék CKmCN-Kn-m (mindegyik m kiválasztási fehér golyó lehet kombinálni a kiválasztását bármely n -m fekete). Egy esemény, amelynek valószínűsége meg akarjuk határozni, hogy egy mintában az n golyó lesz pontosan m fehér golyó. A képlet szerint a valószínűsége egy esemény a klasszikus modellben, a valószínűsége megszerzésének a minta m fehér golyó (t. E. Annak a valószínűsége, hogy a véletlen X változó értékét veszi t) megegyezik a

ahol a CNN - obshee száma minden csak lehetséges, és egyformán valószínű eredmények ellentmondásosak, CKmCN-Kn-m - száma eredmények kedvező esemény érdekes számunkra.

Tehát, a valószínűségét egy esemény érdekes számunkra pontosan m-szer n-függő vizsgálatokban képlet szerint kiszámított (4,14), amely meghatározza az érték a hipergeometrikus eloszlás törvény t = 0, 1, 2 N (lapon. 4.8).

Hipergeometriai forgalmazás törvény

Példa 4.10. Játszott forgalomba pénznyerés kölcsön, amely vypushena N kötést, amely - nyerő. Valakinek N kötés. Nézzük mi annak a valószínűsége, hogy m közülük - nyerő.

Érvelés szerint a rendszer által leírt egyenlet (4.14) mi érdekli a nyerési valószínűsége vevő kötvények.

Példa 4.11. Cars adja a bevásárló és 10 db-os a növény. A felek egyetértenek abban, hogy időt és forrásokat a kereskedelmi utastérben a minőségi és biztonsági ellenőrzések mindössze 5 a 10 bejövő autók. Általában 2 10 kapott autók nem felelnek meg minőségi előírásoknak. Határozza meg mi a valószínűsége, hogy legalább az egyik gép szkennelt 5 utasítani.

Határozat. Ott történik mintavételezés nélküli csere, tehát, egy véletlen értéket - száma hibás járművek - hipergeometrikus eloszlás engedelmeskedik: N = 10, K = 2,
-K N = 8 és n = 5, m = 1, 2.

Példa 4.13. A 20 nyertes sorsjegyet kibontja véletlenszerűen 4 4 jegyet. Szükséges:

1) építeni a törvény eloszlása a nyerő jegyek közül választott;

2) össze egy binomiális eloszlású nyerési jegyek, p = 0,2, n = 4;

3) hasonlítsa össze az eredményeket az oldat a példák 4,12 és 4.13.

1. A feladat szerint N = 20, K = 4, n = 4. általános képlet szerint (4,14), kiszámítjuk a valószínűsége P 4, m (m = 0, 1, 2, 3, 4) és az épület egy hipergeometrikus eloszlást (táblázat. 4.11) :

hipergeometrikus eloszlás

2. A feladat szerint n = 4; egy állandó értéket a valószínűsége p elfogadjuk frakció győztes jegyek: p = 4/20 = 0,2; q = 16/20 = 0,8. Szerint a Bernoulli képlet, kiszámítja a valószínűsége az összes lehetséges r értékeket (0, 1, 2, 3, 4) és az épület egy binomiális eloszlású (táblázat. 4.12)