A csoport transzformációk
A csoport a transzformációk. Alcsoportja transzformációk
A geometria, hogy nem egy, hanem több reformok egymást. Az ügy akkor minősül, ha a beállított transzformációk a tulajdonság, hogy minden véges sorozata transzformációk ezt meg lehet cserélni az egyik ugyanazon átalakulás és inverz transzformációt bármelyike átalakulások tartozik egy adott be ismét. Ezt nevezik - a csoport átalakítások. Figyelembe véve a transzformációk a csoport lehetővé teszi, hogy azonosítani számos geometriai tulajdonságai. Ismerete a tulajdonságok, amelyek nem változnak a transzformációk egy csoport, gyakran, hogy egyszerűsítse a megoldás a konkrét geometriai problémák.
Definíció. Konverziós szám bármilyen bijekciót számokat magukat.
Tétel (a transzformáció csoport). A készlet W minden transzformációk az ábra egy csoportja.
Következmény. A készlet transzformációk egy csoportja a transzformációk síkban tekintetében transzformációk a készítmény.
Definíció. Alcsoport V W csoport egy részhalmaza V W, amely egy csoportja tekintetében a művelet meghatározott W.
Tétel (egy alcsoport). A részhalmaza V W csoportok volt egy alcsoport, ha, és csak akkor, ha az alábbi két feltétel:
Az átalakítás a sík hasonlóság. dil sík
Definíció. Tegyük fel, hogy két Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer Oij és O / i / j /. míg | i / | = | j / | = k | i | = k | j | = k (k> 0). Ezután az átalakulás síkot, amely minden egyes pont a koordinátái M (x, y) tekintetében O / i / j / helyezi pontban M „az azonos koordinátáknak (x, y), de viszonylag Oij. sík úgynevezett hasonlósági transzformáció skálázási tényező k.
A definíció következik, hogy az identitás átalakulása és a mozgás hasonlóság transzformációk.
A fő hasonlósági transzformáció tulajdon.
Conversion sík hasonlóság megváltoztatja a távolság két sík pont ugyanolyan arányban, k együtthatót hasonlóság, vagyis minden pont M, N és képeik M „N”, az egyenlőség | .. M / N / | = k .
Bizonyítás. Legyen viszonylag Oij M és N pontok koordinátái, M (. X1 Y1), N (X2 Y2.). Aztán =
A képek az M 'és N' pontok M, N rendre azonos koordinátáit (x1. Y1), (X2. Y2) a koordináta-rendszerben O / i / j /. találni:
Tulajdonságok hasonlósági transzformáció.
Átalakítás semmilyen közvetlen hasonlóság sík jelenik meg egy egyenes vonal.
Conversion félsíkra kijelzők hasonlóságot a határ a félig síkban, ahol a határ.
Conversion sík hasonlóság menti egyszerű aránya három pontot a vonalon.
Az átalakítás a sík megtartja hasonlóság aránya „hazugság között.”
Conversion síkban jeleníti hasonlóságot szöge egyenlő a szög azt.
Az átalakítás a sík szegmens megjeleníti hasonlóságot a szegmens, a gerenda a gerenda.
Az átalakítás a sík hasonlóság térképek párhuzamos vonal párhuzamos vonalak.
Következmény. Hasonlósági transzformáció a sík paralelogramma megjeleníti paralelogramma.
Conversion síkban kijelzők hasonlóság vektor a vektoriális összege vektorok összege vektorok és a termék egy vektornak egy terméket az azonos számot a megfelelő vektort.
A bizonyítás meghatározásán alapszik egy hasonlósági transzformáció tápszerek kapcsolatos koordinátái ugyanazon a ponton tekintetében két Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer, a bomlási a vektor bázisok vonatkozásában.
Megjegyzés. A koordinátarendszer Oij és O / i / j / azonosan orientált, és az ellenkező orientált.
Definíció. A hasonlósági transzformáció által meghatározott síkban az (1) egy hasonlósági transzformáció az első fajta és hasonlósági transzformáció a második fajta a.
A alaptulajdonságait egy hasonlósági transzformáció és megfelelő jóváhagyási inverzét (ha sík transzformáció megváltoztatja a két pont közötti távolság azonos arányban, k> 0, akkor ez egy hasonlósági transzformáció a skálázási tényező k), következik egy másik meghatározás hasonlósági transzformációt. Definíció. Hasonlósági transzformáció sík a skálázási tényező k> 0 jelentése az átalakulás sík, módosítja a távolságot bármely két pont között ugyanolyan arányban k-val egyenlő.
Definíció. Homothety sík a középpontja O, és a homothetic együtthatót nevezik homotécia síkot, amely sík minden egyes pontja M megfelel egy M pont / jogilag
Rendeltetése. - homothety síknak az homothety O középpontú együttható homothety k.
Definíció. Úgynevezett homothetic formák és =.
Homothetic pontokat M és M / hazugság egyenes vonalon központjában homothety kb.
Rámutat M és M / egyik oldalán helyezkedik el a középső O., ha k> 0, és - a másik kezével, ha k<0.
Dil sík, ha:
Formula homothety középpontú eredetű:
Ha a homothetic központ koordinátáit S (. X0 Y0), akkor a képlet a homothetic központ S alakú:
Ha bevezetjük a jelölést. akkor megkapjuk a képlet
A fő tulajdonsága tágulást.
Minden pont M, N és képek. egyenlőség:
Bizonyítás. Az általunk használt egyenleteket:
Homotécia együtthatóval egy hasonlósági transzformáció a hasonlóság aránya. mert az alapvető tulajdonság, vagy kellene.
ha k> 0, és. ha k<0.
Dil síkban az összes tulajdonságait hasonlósági transzformáció, különösen: a közvetlen kijelző egy egyenes vonal, párhuzamos vonalak - a párhuzamos vonalak változások Összes távolságok egy és ugyanazon kapcsolatban, hogy megőrzi szögek.
Jellemző tulajdonságai tágulást.
Dil síkban van egy fix pont - a központ tágulást.
Dil síkban jeleníti átmenő egyenes közepén dilatáció magában.
Dil sík () jeleníti meg egy egyenes vonal, egy sorban azzal párhuzamosan, úgy, hogy nem halad át a közepén dilatációt.
Dil síkban jeleníti kört, amelynek középpontja egybeesik a központja dilatáció egy koncentrikus kör. Ahol sugarak a körök kapcsolódnak.
Bármely két egyenlőtlen kerületi homothetic egymással, ahol, ha a kerülete nem koncentrikus, van két homothetic, mutatja az egyik őket egy másik.
Dil sík egy hasonlósági transzformáció az első ilyen.
Tétel. Bármilyen hasonlósági transzformáció skálázási tényező, k is képviselheti egy homothety készítmény és a mozgás.
hasonlósági transzformáció csoport és az alcsoportok
1. Tétel A készlet minden transzformációk síkban hasonlósági transzformáció csoportot nevezzük csoport hasonlóságok.
Ha - egy hasonlósági transzformáció együtthatók és. majd - egy tényező egy hasonlósági transzformáció. Tényleg olyan átalakítása, a síkon. Megmutatjuk, hogy bármely két pont az M és az N, és képek. Az egyenlőség. És jelentésük. akkor. Az alapvető tulajdonsága hasonlósági transzformáció. Ezért, a készítmény egy hasonlósági transzformáció.
Let - hasonlósági transzformáció síkon. Mivel minden változást az arány a távolság. akkor a transzformáció inverzét változik minden távolság tekintetében.
Következésképpen, - egy tényező egy hasonlósági transzformáció.
Mindkét állapot és kivitelezett. Ezért, több hasonlóság transzformációk egy alcsoportja összes átalakulások a sík, és ezért csoport.
Definíció. A készlet minden hasonló formák egymáshoz nevezzük formában.
3. tétel alcsoportja hasonlóságok síkon:
Konverziók hasonlóság az első fajta;
A mozgás-csoport, és az összes alcsoportja;
A csoport a fordítások és dilatációt;
Csoport homotheties egy és ugyanabban a központban.
hasonlóság módszer
hasonlóság módszer kényelmes bizonyítására tételek vagy megoldani a problémákat. Ez a módszer megoldja azt a problémát, amely a megadott szöggel, a kapcsolat szegmensek, és csak egy, ez a feltétel kapcsolódó lineáris méretei a kívánt formát. Ábrák mindegyikét kielégíti a feltételeket, a probléma, sőt, együtt jár a kívánt alakú méretei hasonlóak egymáshoz. Kiépítésével az egyiket, majd felvette megfelelően, az együttható a hasonlóság, konstrukció a kívánt formát.
Tétel. A a háromszög középvonalainak metszik egy ponton, minden medián részesedése ezen a ponton a aránya 2: 1 (jobbról a tetején a háromszög).
Feladat. Szerkesszünk az ABC háromszög, ha adott. képarány AB: BC = m: n (m, n-adatszegmensek) és a hálózati oldalon, hogy a medián [21].