Ellipszis, hiperbola és parabola mint kúpszelet
2. tétel A repülőgép, amely nem megy át a csúcsa egy köralakú kúp, keresztezi ellipszis, ha metszi a generátor a kúp (lásd. Ris.190), parabola, ha párhuzamosan csak az egyik kúp (lásd. Ris.191) és hiperbola ha párhuzamos két alkotója a kúp (Lásd. ris.192).
Bizonyítás. Ennek bizonyítására, úgy egy köralakú kúp egy derékszögű koordináta-rendszer által leírt egyenlet:
és geometriailag nyert körüli forgatás a tengelyt. tulajdonú koordináta SVOCs-csont. A körszimmetrikus felület (6) lehet korlátozni csak a szakaszok a Pomeau-levest merőleges síkokban koordináta-ASW-síkban. Ebben a sík az egyenletet. .
Ha. A vágási sík által leírt egyenlet. amikor a párhuzamos koordinátasík. Behelyettesítve a értéke az abszcissza a kúp a (6) egyenlet, azt találjuk, hogy a keresztmetszet síkjában által leírt egyenlettel és meghatározza egy egyenlő oldalú hiperbola (Lásd. Ris.12.24), míg egy pár vonalakat is, amelyek alkotója a kúp. Ris.12.24.
Most tegyük fel, hogy az egyenletben a metsző sík együttható. Ezután a gépet is képviseli az egyenletet. hol. . Mivel a szimmetria a kúp síkjához képest elég ahhoz, hogy az esetet, amikor.
Kúpos szakasz az adott síkban a térben által leírt rendszer két egyenlet (7)
Ahhoz, hogy az egyenlet a metsző sík, úgy a derékszögű koordináta-rendszert,
véve a koordináta tengelyek és a vonalak, amelyek a kereszteződésekben a vágási sík a koordináta síkok és (ld. 12,25).
És koordinátáit egy tetszőleges pontot a vágási síkot kapcsolódni fog a koordinátáit. és a tér kapcsolata:
ahol - közötti szög a kúpos szakasz a referenciasíkra merőleges síkkal. és a koordináta-síkban. és. a.
Behelyettesítve (8) az első egyenletben a (7), azaz az egyenletben. megkapjuk az egyenlet egy kúpszelet egy koordináta rendszerben:
. A konzolok és hasonló kifejezések, azt találjuk:
Amikor. Amikor a vágási síkot képez sík azonos szögben, mint a kúp alkotó kúpos szakasz lesz a parabola (ld ..), és le, az alábbi egyenlettel:
Változtatásával a paraméter egyenlet metszősík mint kúpszelet állíthatjuk elő bármely parabola.
Amikor. (9) egyenlet a következő lesz:
Két lehetőség van. Amikor. azaz amikor a szelő síkot egy kisebb szögben, mint a kúp alkotó egyenlőtlenséget, és ezért a (10) egyenlet egy kúpszelet egyenlete az ellipszis (Lásd. ábra. 12,26) elégedett lesz.
Itt a paraméterek változtatásával az egyenletben a metsző sík, mi kerülhet bármely részén ellipszis.
Amikor. azaz ha a vágás síkja képez sík nagyobb szögben, mint a kúp generátorok, mi van. úgy, hogy a kúpos szakasz által leírt (10) egyenlet lesz hiperbola (Lásd. ábra.). Paramétereinek változtatásával, és előállítható bármilyen kúpszelet hiperbola.