Ítéletlogika - studopediya
Szimbólumok képletű ítéletlogika axiómák.
következtetési szabályok
Tekintsük a formális axiomatikus rendszere, bizonyos értelemben megfelelő propozicionális algebra. Ezt hívjuk rendszer ítéletlogika.
Ahhoz, hogy épít a számítás, akkor meg kell határozni a számítás az ábécé, a koncepció a képlet, tápszerek, osztály, az úgynevezett axiómák, következtetési szabályok a fogkő.
Nagy A, B, C, X, Y, Z változók nevezzük közlések.
Karakterek számítási műveletek Ù. Ú, ®, ¾ (jele összefüggésben, diszjunkció és negáció ismétlés).
Egyéb szimbólumok ítéletlogika rendszer nem tartalmaz.
Formula in ítéletlogika egy bizonyos szimbólumok sorozatát. De nem minden szimbólumok sorozatát egy formula. Például, a szekvenciát A → B (C →), és a (B) nem a képletek. Meghatározása a képletet a ítéletlogika meghatározása a következő:
1. Minden propozicionális változó egy formula.
2. Ha a, b a általános, a kifejezés a forma (aÙb) ,. . (aÚb), (a®b) szintén képletek.
Mi határozza meg egy osztály ítéletlogika kezdeti igaz formulák axiómák.
Következtetési szabályok lehetővé teszik, hogy egy adott rendszer axiómája, hogy egyéb valódi képletét ítéletlogika. Azt mondjuk, hogy a képlet a ítéletlogika hamis, ha a tagadása igaz. Jelöljük a valódi képlet R betű, a hamis - F.
Az alapvető szabályok következtetési két:
1) az elítéltek jogai.
Ha a és (a®b) - igaz formulák, akkor b is igaz. Ez az ajánlat a következőképpen írható fel
2) a helyettesítési szabály
Tegyük fel, hogy egy formula propozicionális változó A. Ezután helyett a megnyilatkozás A, ahol csak megjelenik, minden formula b szerezze igaz formula. Ez a javaslat az írásos formában.
A képlet az úgynevezett kikövetkeztethető a ítéletlogika, ha lehet alkalmazásával kapott a jogállamiság következtetés az axiómák a ítéletlogika. Elfogadása, hogy általános képletű származtatható b kerül rögzítésre az alábbiak szerint:
A folyamat, mely során képletek ítéletlogika formális axiómáknak hívott végberendezés. Megkötéséhez áll meghatározza, hogy milyen szabályok, milyen sorrendben és milyen képlet levezetéséhez használt ezt a képletet.
Megmutatjuk, hogy a képlet származtatható ® A, azaz A ®.
1. írunk axióma 2. csoport I.
2. Alkalmazza azt a helyettesítési szabályt. azaz
3. Vegyük észre, hogy van egy igaz formula egy axióma, az I. csoportba, azaz a Van egy igazi képletek és a®b. Alkalmazza a szabályt következtetési és megszerezni (® B) ® (A ®).
4. Alkalmazza a helyettesítési szabály képlet kapjuk, hogy a B állítás:
5. De. 2 egy axióma a csoport IV. Alkalmazzuk a képlet a kapott szabály következtetés. azaz -A®A.
Azt mondják, hogy a képlet származtatható képletek b A1. a2. egy. Ha a képlet lehet nyerni b szabály következtetéseket figyelembe kezdeti képletek a1. a2. egy és minden igaz állításokat a kalkulus formula. A keltethetőség B képletű a képletekben A1. a2. nyilvántartásában, a1. a2. egy. b.
Ha a képlet származtatható képletek b A1. a2. egy. a kimenet a A1 képletű ® (a2 ® (. (egy ®b).)), azaz
deduktív tétel lehetővé teszi, hogy létre különböző keltethetőségének ítéletlogika képletek egyszerűbb módon, mint a közvetlen levezetés ezen képletek axiómák segítségével következtetési szabályokat. A levonás tétel megjeleníti az alapvető szabályainak ítéletlogika:
1. A szabály a szillogizmus. Ha a képlet (a®b) és (b®g) igaz, akkor a képlet (a®g), azaz
2. szabály átrendeződése parcellák. Ha a képlet (A® (b®g)) igaz, akkor a képlet igaz (B® (a®g)), azaz ;
3. A jobb az United Parcel. Ha az igazság az (A® (b®g)), akkor a képlet igaz (aÙb®g), azaz .
Problémák az egységesség, a teljesség,
Függetlenségét az axiómák a ítéletlogika
Használja algebra nyilatkozatok egy bizonyos modellje ítéletlogika. A képletek a ítéletlogika kell kezelni, mint a képlet a propozicionális algebra. Ehhez minden betű szerepel ábécé ítéletlogika feltesszük propozicionális változó értelmes értelemben, vagyis, változók értékeket vesz fel az I. és L. ábécé szerinti szimbólumok Ù. Ú, ®, ¾. - fogják érteni, mint a logikai művelet propozicionális algebra.
Ebben az esetben a következő tétel érvényes.
Minden az axiómák a ítéletlogika azonosan igaz formulák a propozicionális algebra. Minden képletek levezethető az axiómák a ítéletlogika azonosan igaz formulák a propozicionális algebra.
A bizonyítás az első rész a tétel végezhetjük közvetlen ellenőrzést.
A érvényességét második része a tétel látható, azt mutatja, hogy, alkalmazásával a szabály következtetési és a helyettesítési szabály azonosan igaz formula propozicionális algebra, megkapjuk azonosan igaz formula. Így minden levezethető a ítéletlogika képletű azonosan igaz formula propozicionális algebra.
Ha figyelembe vesszük, minden formális logikai rendszer, beleértve a ítéletlogika, van három probléma: a konzisztencia, teljesség, független számítási rendszert az axiómák.
Logikai kalkulus tekinthető következetes, ha nem vezethető le sem a képleteket, amelyek közül az egyik a tagadása a másikat.
az összhang a probléma az, hogy meg kell találni, ez a fogkő következetes.
Ha a számítás levezethető bizonyos képlet és annak tagadásával. akkor az ilyen fogkő inkonzisztens. Ha a logikai kalkulus nincs, akkor levezethető olyan formula. Ez fogkő nincs értéke, mivel ez nem képes megjeleníteni a különbség igazság és hazugság.
Az igazolást az összhang a logikai kalkulus elég megtalálni benne legalább egy nem-levezethető formula. A következetesség a ítéletlogika probléma megoldódott, így.
Tétel I. számítása következetes nyilatkozatokat.
Ez az állítás következik az előző tétel. Sőt, még egy - egy bizonyos képlet levezethető a kimutatásokban. Ezért tautológia, ha úgy tekintik, mint egy értelmes képletű propozicionális algebra. Ezután - a személyazonosság hamis, azaz nem származtatható az összes értékekkel tagváltozóival. Következésképpen egy és ez nem vezethető le együtt a ítéletlogika.
Tehát bármely képlet levezethető a ítéletlogika azonosan igaz, ha a képlet a ítéletlogika tekintették jelentős képletű propozicionális algebra. Van egy inverz probléma.
Valamelyik azonosan igaz formula propozicionális algebra származtatható az axiómák a ítéletlogika.
Ez a probléma a probléma kiszámításának teljesség nyilatkozatok a széles értelemben vett.
Minden logikai rendszer meghatározása teljesség a legszélesebb értelemben lehet az alábbiak szerint történik: logikai kalkulus az úgynevezett teljes, ha mind a valódi értelemben vett tartalom formula lehet levezetni a szabályok szerint az axiómák kalkulus.
Teljességének ítéletlogika probléma megoldódott pozitívan.
Tétel II. ítéletlogika komplett rendszer.
Nem kevésbé fontos, hogy meghatározzák a teljesség a logikai rendszer a szűk értelemben vett. Logikai kalkulus hívják teljes a szűkebb értelemben vett, ha hozzátéve, hogy a rendszer egy underivable axiómák ebben a számításban képlet nem kalkulus ellentmondásos. Ítéletlogika befejeződött a szűk értelemben vett.
Bármilyen logikai rendszer probléma van a függetlenségét az axiómák a fogkő. Tegyük fel magunknak, hogy minden axióma fogkő levezethető a többi axiómák segítségével a következtetést, a rendszer szabályai. Ha lehetséges, axióma, kimenet a többi axiómák, törölhető a listából az axiómák a fogkő. Axiom, nem vezethető le a maradék axiómák, az úgynevezett független ezen axiómák. A rendszert az axiómák, amelyben sem az axióma nem vezethető le a többiektől, az úgynevezett független rendszert az axiómák.
Ezt a problémát oldja pozitívan kövek.
Tétel III. ítéletlogika axióma független.
A probléma a függetlenségét logikai kalkulus axióma rendszer egy nagyon fontos matematikai probléma, amely néha a kérdés a csere, annak bármely axiómák a tagadás. Példaként azt a kérdést, függetlenségének Eukleidész ötödik posztulátum a rendszert az axiómák a geometria, a kérdés, hogy függetlenségét az axiómák a Zermelo axiómarendszer halmazelmélet. Ezek a kérdések voltak nagy jelentőségű a fejlesztés a matematika.
Meghatározását egy állítmány, tekintsük a következő példát.
1. Legyen n - a természetes számok halmaza, és a P betű jelzi a tulajdonságok a természetes számok, hogy egyszerű. Ha x olyan elem N, akkor a kifejezés „természetes szám x gyors”, amely lehet írva, mint P (x), már nem kijelentés, mint Az igazság értéke a nyilatkozat függ x. Lényegében a P (x) változó (meghatározatlan) nyilatkozat, amely válik határozott amikor X helyébe egy adott elemének N. Például, a P (3) = 1, P (4) = 0. Más szavakkal, a P (x) egy függvény a természetes számok halmaza, és hogy csak két érték: 0 és 1.
2. Legyen Z - az egész számok és a P - számpárok az a tulajdonságuk azonos előjelű. Ekkor P (x, y) azt jelenti: „az egész számok x és y azonos jel.” Ez egy bizonytalan állítás válik határozott, ha x és y helyébe konkrét számokat. Például, a P (2,3) = 1, p (-1,5) = 0. Bizonytalan megnyilatkozás P (x, y) függvény a két változó.
3. Legyen A és B - a pontok halmaza, C - több vonalak egy euklideszi síkon, és a P (a, b, c) jelöli „c vezetéken keresztül húzódik a és b pontok». Ebben a példában van dolgunk függvényében három változó, ahol a és b vállalnak értékeit több pontból áll, és c feltételezi értékek sokaságát közvetlen euklideszi síkon.
Definíció 1. A predikátum egy olyan funkció, amely megjeleníti egy sor önkényes jellegét sok, vagy (hamis, igaz).
Áttérve az alapul meghatározás általában.
2. Definíció Legyen n = 1, N2, N3, ..., Nn> - véges halmazok. Bármely funkciót P (X1, ..., Xn), amely kapcsolódik a minden egyes készlethez n elem 1, A2, ..., an), ahol az ai ÎNi. bármely eleme a Boole-algebra hívják n-helyi predikátum N. Ni beállított nevezzük a tárgykörben a változó xi. Az x1, ..., xn nevezzük objektum változókat. Néhány a több Ni egybeeshetnek.
Ha a megjelenített kép egy sor P (a1, a2, ... an) egy egysége a rekordot.
és azt mondják, hogy az állítmány esetében a P halmaz (a1, ..., an) igaz. Ha azonos módon (a1, ..., an) nulla kerül rögzítésre
és azt mondják, hogy az állítmány esetében a P halmaz (a1, ..., an) hamis.
n - helyi predikátum ha n = 1 az úgynevezett egyváltozós at
n = 2 - biner és terner n = 3. Általánosság, bemutatjuk a fogalom a 0-ed rendű kapcsolatban, nevezetesen 0 helyi állítmány az úgynevezett Lyuba igaz vagy hamis állítás.
Predikátumaként értékeket vesz fel a (0,1), majd felettük képes minden logikai műveletek által tervezett minket az algebra nyilatkozatok (-, Ù. Ú, ®, «), tartása azonos meghatározásokat. Amellett, hogy a műveletek propozicionális algebra fogjuk használni két új műveletek, amelyek kapcsolatban vannak az állítmány jellemzői és kifejezni az univerzális és az egzisztenciális kijelentések.
Legyen P (x) - egyváltozós predikátum meghatározott egy sor M. Ha a változó X jelentése bármely tagja a készlet M, akkor P (x) nem definiált kijelentés.
Operation „rendel meghatározatlan nyilatkozat P (x) azt mondja:” xP (x), amely a következőképpen szól: „minden x van a P (x)» és definíció igaz akkor, ha a P (x) igaz bármely elem XÎM. Az átmenet a határozatlan kifejezések P (x), hogy a kimutatás „XP (x) nevezzük a művelet rögzítésére az univerzális kvantor objektum x változó.
Operation $ rendel meghatározatlan nyilatkozat P (x), mondván $ xP (x), amely a következőképpen szól: „van olyan x, amely rendelkezik a P (x)» és definíció igaz akkor, ha a P (x) igaz, legalább egy x elemÎM. Az átmenet határozatlan nyilatkozatok P (x) a nyilatkozat $ xP (x) függvény az egzisztenciális kvantor művelet lóg alá x változó.
Az első esetben azt mondjuk, hogy az objektum x változó összefügg az állítmány P (x) univerzális kvantor, a második esetben - az egzisztenciális kvantor.
Definiáljuk a műveletek kapcsolódó kvantor az általános esetben egy n-ed rendű predikátum P (x1, ..., xn). Operations kvantifikátorok lóg „és a változó $ x1 (. Az általános esetben a változó xi ahol I =) kapcsolja össze az állítmány P (x1, ..., xn) (n-1) - helyi predikátumok
Az igazság értékeit predikátumok vannak definiálva rögzített értékrend egyes változók x2, ..., xn az alábbiak szerint:
Általában, ha k Tekintsük az állítmány L (x1, x2) - «száma osztva száma x1 x2» definiált a természetes számok halmaza. Ezután a működését kapcsolódó kvantor vezet a következő állítások: 1. „D x1 (x1, x2) -«bármely x1 tart D (x1, x2)», azaz minden x1 osztva x2 Ez állítmány értéke igaz csak x2 = 1 .. 2. A $ x1 (x1, x2) - «ott x1, mely osztható x2». Ez állítmány értéke igaz bármelyik értéke x2. 3. "x1" x2 D (x1, x2) - «bármely x1 és x2 minden van egy helyen a feloszthatóságát x1 x2. Ez az állítás hamis. 4. $ x1 „x2 D (x1, x2) -«van x1 van osztva minden x2.»- egy hamis állítás.Kapcsolódó cikkek