A pénzügyi matematika
Kevesebb pénzügyi matematika érteni modellek és algoritmusok pénzügyi számítások. Alapvető pénzügyi tranzakció - hitel. a piaci szereplők alkut: a hitelező adja a hitelfelvevő a hitel a feltétellel, hogy az esedékesség napján a hitelfelvevő visszaadja a kölcsönt a hitelező inkrementális (százalék). A helyzet az Legegyszerűbb esetben, ha a kölcsön adták az év ábrán látható 5.1.
S - kölcsön inkrementális (százalék);
i = - éves kamat, ebben az esetben ez az arány a összetételéhez.
Figyeljünk a helytelenségét nevének nagysága I - «érdeklődés». Tény, hogy - az az összeg, eredményszemléletű hitelek és pénzben mérhető, nem százalékban. De ilyen a hagyományos terminológia pénzügyi tranzakciók: az az összeg összetételéhez hívják százalékos vagy százalékban.
Általában, ha hitelezés a megállapodás az értéke P a kölcsön és az éves kamatláb i. kölcsön függvényében inkrementális S és P i. Mi expresszálja a S és P keresztül i. S = P (1 + i). A fenti képletet az S csak akkor érvényes, az éves hitel futamideje. Minden más ideig meg kell adnia a képlet. Hagyományosan, pénzügyi számítások, az idő években mérve, és az éves kamat kerül sor, bár más időmérő - negyedév, hónap, nap, állítható sebességgel. Mindezek a feltételek kerülnek rögzítésre a kölcsönszerződés. A kölcsön lehet kiadni bármikor, bármilyen időpontban, bármely időpontban. Az első és utolsó napján szokták tekinteni egy nap. A különböző országokban, sőt a különböző bankok az egyik országban a futamidő években számítják különböző módon.
t - lejáratú hitelek napokban;
T - a napok száma egy évben;
Az értékek a T és T pontosan meghatározható a naptár, vagy közelítő (kerekítve). Az utóbbi esetben azt feltételezzük, hogy egy évvel áll a 12 hónapos 30 napot. Az első módszer jelöljük (365/365), és a második - (360/360). Lehetséges kereszt módszerek. Mindenesetre, miután megkapja a kölcsönt, először meg kell győződnie arról, hogy milyen módszert határozza meg a hitel futamideje, mint ettől az értéktől függ százalék.
Kamat összege függ az értéke a hitel, a kamat és a hitel futamidejét. Vannak egyszerű és kamatos kamat. Egyszerűen nevezzük érdek, amelyek a lineáris idő függvényében. Vegyület érdeklődés egy exponenciális függvény idő, ahol az idő szerepel az index.
5.1. egyszerű kamat
A fenti képlet kapott az esetében összetételéhez, amikor a hitel pontosan egy évvel: S = P (1 + i). Mi származhat képlet tetszőleges kompaundálási időszakban mért éves a hitel (Fig.5.1.1).
S1 = P (1 + i) = P + Pi = P + I1.
Mi módszert alkalmazza indukció.
Látható, hogy a százalékok lineáris az idő függvényében.
Képletek kiszámításához Sn és In írták fentebb az évek számát n. Nyilvánvaló, hogy érvényesek tört értékeket n mind kisebb és nagyobb, mint 1. Például. Meg kell számítani az érdeklődés a hónapban közelítő módszer (360/360). Ezután n = és Imes. = Pi / 12. Ennek megfelelően a százalékokat naponta módszerével (360/360) egyenlő Pi / 360-ra Minden képletekben i - éves kamatláb.
A jelentős hitel kifejezést néha használják a változó kamatozású - pl. Ha a feltételezett változás az inflációs ráta a jövőben. Mi ebből a képlet az Építési kölcsön erre az alkalomra.
t = 1 m - időrések száma különböző kamatlábak;
nt - t-edik intervallum időtartam években;
ez - az éves ráta kompaundálással t -edik intervallumban.
Vissza részei a hitel
Kölcsön visszafizetése, érdeklődéssel végzendő végén ismét a hitel futamideje, illetve részletekben ebben az időszakban. Az utóbbi esetben meg kell összegének kiszámításához az utolsó kifizetés. Ehhez a két módszer: biztosításmatematikai és kereskedő.
Ábra. 5.1.2 ábra a számítások szerint a biztosításmatematikai módszer, amely általánosan használt több mint egy éve a hitel.
t = 1 m - a fizetési szám;
nt - t-edik fizetési határidő az év kézhezvételétől kölcsön;
i - az éves növekedési ütemének;
St - az adósság halmozódott fel a t-edik kifizetésig;
Pt - maradék tartozás kifizetése után t-edik.
Kiszámítására szolgáló képletek a:
Bármikor, a felhalmozott tartozás két részből áll: a fennmaradó része a hitel nem térítik P és a felhalmozott és a kifizetetlen kamat. Ha kevesebb, mint a rendszeres fizetési felhalmozott és a kifizetetlen kamat, az adósság csökkentése nem megy végbe, és az összeget a fizetési csatlakozik a következő kifizetést.
Ábra 5.1.3 mutatja a számítási sémát kereskedő módszer, amely általában használt legalább egy év, amikor a kifejezés a hitel.
t = 1 m - számú közbenső kifizetések;
Rt - t -edik köztes értékű fizetési;
nt - t-edik ciklus időközi kifizetés;
R - végső kifizetést.
Az ötlet egy kereskedő módszer a következő. Hagyja nt időszakban végzett időközi kifizetés Rt. A fennmaradó kifejezés a hitel idő egyenlő (n - nt), felhalmozódott kamat, és a végén a kifejezés a hitel érdeklődéssel, az összeg az időközi kifizetés:
Ha az ilyen kifizetések m. végére a hitel futamideje fog felhalmozódni a kifizetések kamatokkal együtt.
Nyilvánvaló, hogy a végső kifizetés kell egészíteniük R halmozott összegű kifizetések az érdeke, hogy az értéke a hitel kölcsön felhalmozódott kamatot.
Cseréje S és azok értékét megkapjuk
Így megkapjuk az összeget a végső kifizetés:
Mi társítani az ötlet a két helység módszer az időközi kifizetések a kölcsönt. A biztosításmatematikai módszerekkel az egyes fizetési csökkenti az adósság, kamat továbbra is gyűlnek a fennmaradó tartozást. Az eljárás során a kereskedő minden kifizetés nem csökkenti az adósság, de a kamatot is. Végén a hitel futamideje, amikor a végső kifizetés összegét a felhalmozott adósság és a felhalmozott fizetési egyenlőnek kell lennie.
Még mindig úgy tekintenek eljárással összetételéhez: P kiadott kölcsön idővel volt fokozott érdeklődés, és átalakult a kölcsön kamatlába összetételéhez S. aránya határozza meg az érdeklődés egy év I. R. hitelek a bankszektor is vonatkozik leszámítva eljárás (könyvelés), ami kijött a műtőből könyvelési számlák. Bill - a kötelezettség, hogy visszatérjen a meghatározott összeget a számla (számlák címletű, jelöljük S), a megadott időszakban. Ha a jogosult a számlát (a tulajdonos abban a pillanatban) akarja kicserélni a számlát a pénzt, ő fordul a bank egy javaslatot, hogy vegye figyelembe a meglévő számlát tőle, azaz a megvenni az összeg R kevesebb, mint a névérték S. Az ilyen ügylet az úgynevezett diszkontálás és a kedvezmény összege a névérték - kedvezményt. leszámítolásával számítások látható Fig.5.1.4 arra az esetre, ha a fiókban, amíg az idő a számlafizetési (vagyis azok, akik azt kiadó) tartózkodott egy évben.
S - megnevezését számlák;
1 év - az érvényességi idő az eszköz;
D - kedvezmény, azaz a kedvezmény névértékű, figyelembe véve az eszköz;
P - az ár egy számlát, azaz a összeg, hogy az eladó megkapja a számlát, ha azt is figyelembe vesszük.
Könnyen megfigyelhető, hogy a kedvezmény rendszer nagyon hasonló a kompaundálási rendszer (5.1 ábra). Értékek a P és S. D. és én ugyanaz. A különbség az, hogy az áramkör a összetételéhez a számítás alapján megállapított kölcsön P és visszatért hitel számítjuk S. százalékkal kedvezmény alapja egy azonos címletű számlák S (azaz a visszaadott összeg), valamint a kiszámított összeget, amely R. a számlázást eladó.
Jelöljük: d - diszkontráta
Egy másik különbség az elszámolási eljárások és összetételéhez. Amikor EXTENSIONS ráta i által megvizsgált érték R. hitel és a diszkontráta diszkontáláshoz d tekinthető címletű számláz S.
Nyilvánvaló, hogy ugyanazokat az értékeket az S és P arány összetételéhez kevésbé aránya. Mi írjuk a képlet R S és ismert alatt d.
Ez a képlet érvényes egyéves számlákat. Legyen a érvényességi ideje a számla N évvel, ahol n - egy nem-negatív szám, ideértve a frakcionális. A kiszámításának képlete P formáját ölti: P = S (1 - ND). Úgy látszik, hogy n és d olyan lehet, hogy ez lehet nd> 1 és p értéke kisebb, mint nulla. Ez természetesen lehetetlen: senki sem fog vállalja, hogy kifizeti a számlát, és még fizetni érte egyenlő összeget S (nd -1). Ezért, diszkontálás alkalmazzák úgy, hogy az 1> ND> 0.
Nominális és reálkamatláb
Legyen P hitelt nyújt a kamat i százalékkal az év során. Egy évvel később, vissza kell térnie a kölcsön kamattal, S = P (1 + i). Ha van infláció rátával j. Az év az S érték értékcsökkenés.
SH - névleges kölcsön százalék;
Sp - ingatlan hitel kamat, azaz a vásárlóerejének SH;
r - reálkamat;
i - névleges kamatláb;
j - az infláció.
Tekintettel a jelölést elfogadott, összetételéhez a képlet formájában:
Ez a képlet a következőképpen értendő: lejárta F évre valóban nőtt ütemben r és rovására infláció infláció j. Ehelyett SH helyettesíti az értéke:
P (1 + i) = P (1 + r) (1+ j) vagy (1 + i) = (1 + r) (1 + j)
Performing az átalakulás, kapjuk:
Ez pontosan képlet a reálkamat az ismert értékekre nominális kamatlábak és az infláció. Alacsony infláció alkalmazni közelítő képlettel r = i-j. Amennyiben jelentős inflációs alkalmaznia kell a pontos képletet.
Az pénznemek közötti átváltás érteni a fordítást egyik valuta és az egyéb pénzügyi eszközök - pl. fordítását rubelt a dollár, vagy fordítva. A bank pénzt tartani a rubel vagy deviza betétek. Hogy jobban megéri? Normális esetben a kamatok rubel számlák magasabb, mint a deviza. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a rubel leértékelődött az infláció miatt gyorsabb, mint a dollár, az euró és mások. A válasz arra a kérdésre, hogy milyen pénznemben jobban megéri tartani a pénzt a bank függ a kamatlábak rubel és devizabetétek, valamint során a változás ütemét nemzeti valuta. számítási rendszer ábrán látható. 5.1.5.
Az egész művelet célja egy évre. A, B, C, D - különböző állapotok a művelet során.
Arrow AB - a pénzt a rubel betétek.
AC - az átalakítás a rubelt a dollár, azaz eladás dollárt, amelyet a bank a betétesek.
CD - letétbe pénzt devizabetétek.
DB - az átalakítás dollárt rubelt.
P - a hozzájárulás összegét dollárban.
SP - rubel átutalt összeget inkrementális (kamatokkal együtt) egy éven belül.
S - dollár hozzájárulást érdeklődéssel évente.
i - az éves kamatláb rubel betétek.
v - az éves kamat deviza betétek.
BPR - eladási árfolyam idején a hozzájárulást, azaz az ár, amelyen a bank értékesíti dollárt rubelt.
bpok - természetesen vásárlások az év, azaz árat. amelyek esetében a bank vásárolja dollárt.
A látható nyilak a képlet a műveletek eredményei.
SP = PP (1 + i) - tároló eredményeként pénzt rubel hozzájárulás az év során.
- az eredmény a kezdeti átalakítását rubelt a dollár az arány BPR.
SD = Pg (1 + v) - az eredmény a pénzt a devizabetétek az év során.
Mi határozza meg a tárolási feltételek egyenértékűségének pénzt rubel és deviza betétek: ebben az esetben a tárolási eredmény ugyanaz.
5.2. kamatos kamat
Ha a kölcsönt nyújtott egy bizonyos ideig, és kamatfizetési kötelezettség terheli egyszer végén ebben az időszakban, az egyszerű és kamatos nem különíthetőek és a felhalmozott hitel lesz ugyanaz. A vegyület hatását érdeklődés merül fel, amikor a kifejezést a hitel van osztva több időközönként, a végén minden intervallum kamatmentesek és csatlakozik a felhalmozódott mennyiség elején az intervallum.
Egyszerű kamat terheli a kezdeti értéke a hitel, a komplex - kölcsön idején inkrementális érdeke. Ábra 5.2.1 mutatja a számítási sémát érdekes, ha a hitelt nyújtják egész szám év, és kamatos van töltve évente.
j - éves vegyületet kamatláb;
Sn - visszatöltött lejárta végén n;
A képlet származik a teljes n. de ez érvényes bármely nem negatív valós szám n. Pl. hat hónapig. és a negyedévben.
A banki gyakorlatban összetételéhez betétek kamatai tette évente többször - a havi, negyedéves, féléves. Ebben az esetben ez az arány az intervallum kell számítani az éves hozam, és fordítva - az éves kamatláb megegyezik a jövedelem aránya időközzel kevesebb, mint egy év alatt. számítási rendszer ábrán látható. 5.2.2.
m - az intervallumok száma az év;
t - száma az intervallum;
St - kölcsön inkrementális végén intervallum t;
j - éves hatásfok a hitel;
g - összetételéhez sebességgel per intervallumban.
Az értékeléshez j és g egyformán hatékony, az szükséges, hogy az egyenlőség:
P (1 + j) = P (1 + g) m;
Így a kamatláb az intervallum lehet számítani egyformán hatékony aránya az év során.
És fordítva - az éves kamatláb lehet számítani egyformán hatékony kamatos kamatláb közötti időszakra.