Rendszeres és semiregular poliéder
Rendszeres és semiregular poliéder
Összefoglaló teljesülnek: Gileva Maria, 10 "B" osztályú, 41 Iskola
Helyes és félig szabályos testek (platóni és archimedesi szilárd anyagok)
Rendszeres poliéder nevezzük konvex poliéder, akiknek az arca - egyenlő szabályos sokszögek, és a torziós szögek minden csúcsot egyenlő. Bizonyított, hogy az egyes csúcsok egy szabályos poliéder konvergál azonos arcok számát, és azonos számú élek.
A természetben minden, van öt szabályos poliéder. Összehasonlítva a számos rendszeres sokszögek - nagyon kevés: az egyes n> 2, van egy szabályos n-szög, azaz szabályos sokszögek - végtelen sok. Rendszeres poliéderek elnevezése szerint az arcok száma: tetraéder (négy arcokat): hexaéder (6 arcok), oktaéder (nyolc arcot), a dodekaéder (12 arc) és ikozaéder (20 metszettel). A görög „Hedronn” olyan arcot „tetra”, „hexa”, stb - .. A számos említett arcok. Nem nehéz kitalálni, hogy a kocka nem más, mint a jól ismert kocka. Arcok a tetraéder, oktaéder és ikozaéder - egyenlő oldalú háromszög, a kocka - kocka, dodekaéder - rendszeres ötszög.
Ha számát jelöli a szögek egyik oldalából egy szabályos poliéder q, és az arcok száma, egy csúcsban - p, akkor kap a pontos jellemzőit minden szabályos poliéder. Itt vannak (az első szám - q, a második - p): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3). Ebben az esetben a kocka és az oktaéder, valamint az ikozaéder és a dodekaéder a száma, p és q, hiszen ültették. Ezek polyhedra nevezzük kettős. Tetraéder tekinthető kettős önmagához. A kettős poliéderek azonos számú bordák.
Rendszeres polyhedra szimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy bármely önkényesen kiválasztott él AB és a szomszédos arcok F, elforgathatja a poliéder, hogy az AB él kapcsolót bármely más, mint a CD-szélén pont - annak bármely végét (C vagy D), és az arc F egybeesik a két szomszédos arcok. Ezek a lehetséges forgatások - valamennyi önálló véletlenek ott 4P, ahol P - élek számát egy poliéder. Így a fele - forgatások körül a képzetes tengelynek összekötő poliéder központban a csúcsok, felezőpontja élek és arcok többszörösei rendre 2P / q, p és 2p / p, és a másik fele - szimmetria a repülőgépek és „tükör forgatások”. Meghatározott „maximális szimmetria tulajdonság” néha venni, mint a meghatározása szabályos poliéder. De az ember távol a matematika, nehéz elképzelni, hogy egy geometriai test ezzel a definícióval.
Johannes Kepler nevű kocka „szülő” a reguláris poliéder. Alapján a kocka, ő tudja építeni az összes többi rendszeres poliéder.
Ha felhívjuk a szemközti oldalon a kocka átlós ferde, végük lesz a csúcsai a tetraéder, oktaéder és a felső - a központ a kocka. A kapott sokszögek valóban helyes, hiszen az ő oldalukon - derékszögű háromszögek. Az egyenlőség a torziós szögek abból a tényből következik, hogy ha viszont a kocka éle poliéder lefordítható más.
A konstrukció ikozaéder, valamennyi oldalán a kocka építeni szegmens x hossz (mindaddig, amíg ez - bármilyen hosszúságú) úgy, hogy az párhuzamos a két arca két oldalán, és merőleges az azonos szegmensek szomszédos arcok. A közepén meg kell egyeznie a központja az arc. Csatlakoztassa a végén a szegmensek egymáshoz, és megkapjuk a ikozaéder, akiknek az arca - háromszögek, és minden egyes első öt. Találunk egy x szám, vagy azt, hogy minden a széleit a poliéder egyenlő, azaz. E. helyes. mert köbös szimmetrikus, akkor minden élek nem tartozó, az arcok a kocka egyenlő. Tegyük fel, hogy a hossza a kocka szélét. Tekintsük az ABC háromszög (ábra. 2), ahol Ac = a-x, BC2 = CD2 + BD2 = 1 / 4A2 + 1 / 4x2. A Pitagorasz-tétel kapjuk: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + A2 + (a-X) 2) / 4.
Átszámítva AB x, megkapjuk a másodfokú egyenlet: x2 + ax-a2 = 0, ahol x = a (Ö5-1) / 2. Érdekes, hogy a kapott faktor, amikor egy, azaz az arány a kocka szélig icosahedron ezekben feltüntetett - .. Nem más, mint az aranymetszés.
Most bebizonyítjuk, a torziós szögek. Tekintsük öt bordák, kezdve a pont A. A végei mindet, és egyenlő távolságra vannak az A pont és a központ a kocka O. Ez azt jelenti, hogy ezek fekszenek a kereszteződésekben a két szféra központokkal A és O, és ezért - a kerülete, és a-ig, hogy csatlakoztassa a őket a pont egyenlő. Ezért ezek az öt pont, és az a pont - megfelelő csúcsa a piramis, és torziós szögek csúcsán egyenlő.
Dodekaéder az ikozaéder lehet beszerezni, valamint egy oktaéder egy kocka. összekötő közepén a szomszédos arcok az ikozaéder, megkapjuk pravilngy ötszögletű. Mindezek ötszög 12. A torziós szögek a poligon lesz egyenlő, mint a háromszög szögek csúcsai azonos síkban szögek.
Rendszeres poliéderek is nevezik platóni testek, bár már évszázadok óta ismert, mielőtt Platón. Egyik párbeszédek, Platón kapcsolódik a szabályos sokszögek négy elemmel. Tetraéder megfelel a tűz, a kocka - föld, oktaéder - levegő, ikozaéder - víz. Dodekaéder megfelelnek az ötödik elem - éterrel.
Az úgynevezett félig szabályos poliéder nevéhez Arkhimédész. Ez a testület 13 nyert csonkolása rendszeres poliéder és két végtelenített sorozat rendszeres prizmák és antiprisms egyenlő ig.
A reneszánsz tudós Johannes Kepler Platón után megpróbált csatlakozni szabályos testek a szerkezet a világegyetemben. A kisebb vagy nagyobb pontosságot ő között elhelyezett gömbök tartalmazó hat ismert pályára bolygók szabályos testek oly módon, hogy minden egyes írták le körülbelül írva a gömb és nagyobb. De a neve Kepler a geometria hírnév megnyitása a négy közül két szabályos csillagot szervek. A másik két 1809-ben megtalálták a francia Louis Poinsot.
Ábra. 1 Regular polyhedra
1 / AppData / Local / Temp / msohtmlclip1 / 01 / clip_image002.jpg "/>1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.jpg" /> 1 / AppData / Local / Temp / msohtmlclip1 / 01 / clip_image006. jpg "/>1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.jpg" />1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.jpg „/> 1 / AppData / Local / Temp / msohtmlclip1 / 01 / clip_image014.jpg "/>1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.jpg" />
Ábra. 4. Az egyik csillag szervek