A koncepció egy görbületi geometria
Tekintsük a két fogalom görbület, amelyeket a geometria és a szükséges leírni a tér-idő általános relativitáselmélet:
- A külső görbületéhez. a görbe vagy felület S. található egy térben a nagyobb E méret - annak a mértéke, hogy milyen S eltér az egyenes vonaltól annak E.
- A belső görbülete határozza meg, hogyan geometriai forma tulajdonságait egy adott térben eltér a „planáris geometriát” (amely tartalmazza affinitás geometria), tekintet nélkül az egyéb tartalmazó teret figyelembe vett szám.
A külső görbülete
Ha áttérünk a görbe mentén, annak irányát (érintő vektor) lehet változtatni. A hajlásszöge az irányt az ív sima görbe S közelében egy előre meghatározott ponton P. jellemzően arányos a hossza pontosan (abban az esetben, a körív) vagy közelítőleg (közelítése a jobb, a kisebb az ív). A külső görbületéhez S a P pont úgy definiáljuk, mint az eltérés aránya (aránya arány):
A határérték (kis ívek tartalmazó S. P), a (eltérítési szög (radiánban) / ív hossza).
A görbülete a kerülete egy euklideszi sík a reciproka a sugara ennek a körnek.
A területen a „egyenes vonalak” (görbék nulla görbületű) egy „nagy kör” középre a közepén. A világon, ami körülbelül egy gömb, az egyenlítő és a meridiánok - egyenes, hanem a párhuzamok (szélességi körök) a görbék.
Lehetőség van ösztönösen érti a görbület a görbe a síkon, figyelembe véve az ügy vízszintes úton felület, amelyen a autós túrák: út görbületét közel minden pont „mért” irányt a kerekek, ami szükséges vezetni az úton, valamint egyfajta oldalirányú nyomás utazás közben állandó sebességgel.
Mert altér S külső görbület tér E. S E olyan intézkedés, hogy a görbe „egy közvetlen S” hajlított belső E. Amikor S dimenzió> 1, ez görbület általában nem Edistvennoe és többdimenziós tárgy, mert ez ad merőleges irányban (tangens altér) S a (másodfokú) függvény görbe a kiválasztott irányba S (pontosabban, ha n = homályos S és m = dim E. a külső görbülete n (n + 1) (m-N) / 2 származási ). Azonban ez a görbület lehet tekinteni, mint egy értéket, ha áll azonos értékeket minden irányban.
Gauss (belső) görbületi
A Gauss-görbület - belső görbülete a helyzet a részfelület (2-dimenziós térben), amikor ez egy skaláris mező.
Gauss görbület lehet érteni, mint „szögletes sűrűség” alább leírt.
Minden felület (2-dimenziós térben, csak mintegy euklideszi kis léptékű), a szögek összege radiánban olyan háromszög eltérhet π. Például a világon, a háromszög és amely két egyenlítői meridián két derékszög és a harmadik szöggel (a csúcs a pólus) bármilyen érték lehet.
Ezen túlmenően, a párhuzamos fordítás mentén bármely zárt görbe indukál elforgatási szögben α, amely abban az esetben a háromszög egybeesik a szög-különbség:
Abban az esetben, (2-dimenziós) a r sugarú gömb 3-dimenziós euklideszi tér, ez a szög α arányos a terület A régió körül egy görbe az alábbi képlet szerint
A Gauss görbülete a gömb egy arányossági tényező R = R -2. amely egyenlő a négyzetes külső görbülete (r-1).
Gömbök egy különleges eset az íves felületek, mert van egy állandó Gauss görbület. Egy még általánosabb esetben, a Gauss görbülete a felület (nem állandó) mező és a forgatási szög α indukálta párhuzamos transzlációs mentén zárt görbe szerves a mező, amely lezárja görbe felülete.
Riemann görbület
Riemann görbület az általános esetben a tetszőleges dimenzió belső görbülete, hogy a tér (2 fent). Ez a mező nem skalár, de több-dimenziós (azaz, által leírt több összetevő egy előre meghatározott koordináta-rendszerben). 3-dimenziós térben, Riemann görbület körül minden egyes pont egy dimenziója 6. 4-dimenziós térben (mint például a tér-idő), azt a dimenziót 20.
Vannak különböző módon leírni ezen a területen. Normál, „matematikai” módszer azon alapul, a tulajdonságok a kovariáns deriválás operátor, amely leírja változások bármely vektor mező szomszédos minden pontjában.
Általában egy metaforikus leírás mezőben valami mérve minden ponton; mező változását bármilyen típusú objektumok (vektoros vagy valami más) által leírt lineáris operátor eljáró űrből „sebességvektor” mérő készülék egy adott ponton értékkel (a vektor hely, ahol a mező értéke) a változás mértéke a mért mező értékeket.
A kovariáns deriválás egy vektor mező minden pontban a „legpontosabb” képet változások terén e pont körül, abban az értelemben, hogy az megfelel a parciális deriváltja ezen a területen, ha úgy dönt, egy koordináta-rendszer, amely „a legkevésbé torzított” a lényeg.
Tulajdonságok kovariáns deriválás eltérnek az ilyen tulajdonságokat a részleges származékok bármely rögzített koordinátarendszer. Mivel (ha az nem nulla görbületű) koordináta-rendszer nem lehet „a legkevésbé torzított” egész pontjának szomszédságában, így a környéken nem lehetséges, hogy kiválasszon egy rögzített koordináta-rendszerben, amelynek során a kovariáns parciális derivált közvetlenül adott származékok. Más szóval, a változás a mért részleges származékok azok nyert affin teret adott szerkezet a kiválasztott koordináta rendszer, de az affinitás szerkezete megfelel a planáris geometriát, a hiánya görbületi amely nem tárgya a vizsgálatba.
Most, hogy egy intuitív leírása a görbület a hosszabbító magasabb dimenziókba felett, hogy az ötlet egy párhuzamos fordítás a görbe mentén.
Minden kis hurok, közel a ponton azt képzelni, hogy ez egy zárt hurok, amely vágjuk a ponton, és beköltözik egy sík geometriai térben. Mindkét végén az elején egybeesett most más.
Hogy egybeessenek újra, a hurok lehet vágni egy másik ponton, és így két részből, majd mozgassa a másrészről a másikhoz képest.
Ez a mozgás, amelyet alkalmazni kell, egy rész a másikhoz képest úgy, hogy a végek illeszkednek (de a végén az új szakasz eltérő) yavlyaets forgatás (az általános esetben a kis euklideszi mozgás, több menetben, mint transzferek, abban az értelemben, hogy esetében fordult a központban található, vagy annak közelében a régió alatt).
Az első közelítésben (kis hurok), ebben a körben (a koordinátáit. Irányban kis szög), függetlenül attól, az a pont, amelynél vágjuk a hurok.
Most, hurkok vehet kis paralelogramma. Az eredmény párhuzamos fordítás minden hurok lehet beszerezni ezeket a kis paralelogramma figyelembe poverhnostogranichennuyu ezt a hurkot, és elválasztó felületet a nagyszámú kis paralelogramma (vagy háromszögek, amelyek egy fél paralelogramma): gyakori forgatás párhuzamosan elmozdítható körül a hurok kapjuk összegzésével (integráció) az összes kis fordul elő, a párhuzamos fordítás mentén paralelogramma.
Működés, hogy minden pár (kicsi) összehasonlítja vektorok (kicsi) viszont kapott párhuzamos transzlációs mentén kis paralelogramma, amelynek által meghatározott irányban ezek a vektorok egy bilineáris, antiszimmetrikus funkciója ezen vektorok.
Kis csavarják (ez a funkció értékek) lehet meghatározni, mint bilineáris antiszimmetrikus leírt formákban antiszimmetrikus mátrixok.
Leírni Riemann görbület a koordinátákat, hogy egy közelítő „derékszögű koordináta-rendszer” kis környezetében (abban az esetben, kozmológiai, ez azt jelenti, „kis” képest a méret a világegyetem, de a nagy, mint a galaxis ;-). Sőt fogjuk használni a nevét, mint egy jel koordináta egymásra merőleges tengely ezen a környéken. Ezután mindegyik pár tengely határoz meg egy kis paralelogramma ezen a környéken.
A tér antiszimmetrikus bilineáris formában n-dimenziós térben van dimenziója n (n-1) / 2, amely megfelel a párok száma a tengelyek.
Ha n = 4, a tér-idő koordináták (x, y, z, t), 6 van pár. (X, y), (x, z), (y, z), (x, t), (y, t), (z, t).
Összehozása már a fentiekből, hogy a görbület lehet leírni, mint egy tenzor 4 indexek nyert két pár antiszimmetrikus. A koordinátákat, minden egyes komponens Riemann görbületi meg kell jelölni két pár koordinátákat:
- egy pár koordináta jelek a kis felület (paralelogramma), amely körül a párhuzamos átvitel megtörtént,
- egy másik pár jelek kis rotációs komponense kapunk ezzel transzfer.
Így Riemann görbület körül minden pontja a 4-dimenziós térben, a hozzávetőleges derékszögű koordinátarendszerben ebben a pontban van leírva szimmetrikus mátrix 6 × 6, ahol minden egyes sorban, és minden oszlop megfelelnek a koordináta párt.
Egy különleges eset a görbék geometriai tér egy tér egy állandó görbületű. úgy definiáljuk, mint az egyenértékű
- Általánosítása szférikus geometria minden dimenzióban és minden jel görbület
- Ha feltételezzük, hogy minden kis felületen sík kifelé belül ugyanaz a Gauss görbület.
- Ha az elosztócső van Riemann (azaz tiszta térben, hanem a tér-idő: minden érintőtér az euklideszi) mátrixot a helyi Riemann görbületi hozzávetőleges derékszögű koordinátái egyes kis terület, van egy azonosság mátrix megszorozzák egy együtthatóval.
Miért van az dimenziója 20, és nem 21?
Tér szimmetrikus mátrixok 6 × 6 egy dimenziója 6 × 7/2 = 21.
De Riemann görbületi tenzor nem tud ebben a helyzetben bármilyen értéket, mert van egy kapcsolatban, ami lerövidíti a dimenziója 21-20.
Ez az arány az úgynevezett "teljes antiszimmetrikus" része ennek tenzor, és meghatározott, mint táskát komponensként kijelölt ((x, y), (z, t)), ((y, z), (x, t)) és ((Z, X ), (y, t)).
Ennek az az oka, valamint a szimmetria, ha változik mindkét pár, lehet magyarázni útján görbületi tartják alapulnak metrikus a térszerkezet.
Metrikus szerkezet egy mezőt, amely meghatározza minden ponton helyi geometriai szerkezetet (lokálisan euklideszi vagy Minkowski szerkezetű, amellett, hogy egy egyszerű helyi affin szerkezet, amely simaságát megadott helyet). Értékei ezen a területen minden egyes pont egy szimmetrikus bilineáris formában a tangens vektorok a ponton (intuitív módon, a sebesség vektorok a részecskéket, amelyek át), amely ezáltal egy helyi terméket.
Az előre meghatározott koordináta-rendszer (vagy ezzel egyenértékű, térkép a tér egy sík felület - lehet, hogy megfelelő első közelítésben körül pontok így az első származékok metrikus ezen a ponton, mert a megfelelő technikai megmagyarázni.), A görbület számítva a második származékok metrikus .
A szimmetria a metrikus, együtt a szimmetria második származékok a koordináta-rendszerben megváltoztatja a természetes következménye az ilyen kifejezések egyszerűen „nem termel semmilyen aszimmetria”, mert a szimmetrikus események. A részleteket ez az érv megköveteli annak megértését, a tenzor kalkulus.