Ortonormális alapján - egy nagy enciklopédiája olaj és gáz, papír, oldal 2
ortonormált bázis
Láttuk (§ 12), amelynek a ortonormális alapját bármilyen önadjungált lineáris transzformáció. ahol a mátrix diagonális. Lehet, hogy néhány önadjungált transzformáció van egy közös alapot, amelyben a mátrix mindezen átalakítások átlós. Találunk itt, milyen feltételek mellett lehetséges. [16]
Így annak érdekében, hogy önadjungált átalakulás szükséges és elégséges merőleges normalizált alapján a mátrix szimmetrikus. [17]
Ha az egydimenziós invariáns altér nem, akkor vegye kétdimenziós és hagyja, hogy elt er annak ortonormált bázis. [18]
Alkalmazása az így kapott teljes rendszer a lineárisan független elemek ortogonalizációs folyamat, konstruálunk egy ortonormáiis bázis. [19]
A koncepció a affin ortogonális tenzor tartják az előző bekezdésekben, átalakulása miatt ortogonális koordináta-rendszerek és azok normalizált ortogonális bázisok. [20]
Egy önadjungált lineáris operátorok véges dimenziós euklideszi térben ismert tétel csökkentése a mátrix az üzemeltető az átlós alakban néhány ortonormált bázis. Ezen a ponton, akkor kiterjesztjük ezt a tételt kompakt önadjungált operátorok Hilbert-tér. [21]
Belátjuk, hogy minden vektor egy affin ortogonális tenzor az első helyezés. Először is, az egyes ortonormáiis bázis et, E2, E3 vektor által meghatározott három szám x - tripla a koordinátáit. [22]
OEU mátrix, amely kielégíti az alábbi összefüggést (7.6) nevezzük ortogonális. Így, az átmenet mátrix az egyik ortogonális normalizált alapon merőleges másik. [23]
A cél az e bekezdés a választást az Rn térben egy új ortogonális és normalizált alapján és az új származási úgy, hogy a felület a 2. érdekében határoztuk meg néhány különleges és különösen egyszerű egyenlet, amely az úgynevezett kanonikus. [24]
Láttuk 7.33, és hogy egy affin tér vagy kanonikus alapon, vagy kanonikus alakja négyzetes forma nincs egyértelműen meghatározva; általánosságban elmondható, hogy benne lehet a kanonikus alapján bármely formájában előre kijelölt vektor. Az euklideszi térben, és feltéve, hogy figyelembe vesszük csak normális ortogonális bázisok. más a helyzet. A tény az, hogy együtt a mátrix a kvadratikus alak, mint láttuk, transzformált mátrix megfelelő szimmetrikus lineáris operátor; Ha talált kanonikus alapján másodfokú űrlapot, majd ugyanabban az időben találtunk alapján sajátvektorok egy szimmetrikus operátor. Így az együtthatók egy kvadratikus formában a kanonikus alapján (kanonikus együtthatók) egybeesik a megfelelő saját értékek szorzata az üzemeltető. Azonban, a sajátértékei a gyökerei egyenlet det (A - E) - O, amely nem függ a választott bázis és invariáns társított szereplő A. Következésképpen, a beállított együtthatók a kanonikus formában (Ax, x értéke egyértelműen meghatározott. [25]
Láttuk 7.33, és hogy egy affin tér vagy kanonikus alapon, vagy kanonikus alakja négyzetes forma nincs egyértelműen meghatározva; általánosságban elmondható, hogy benne lehet a kanonikus alapján bármely formájában előre kijelölt vektor. Az euklideszi térben, és feltéve, hogy figyelembe vesszük csak normális ortogonális bázisok. más a helyzet. A tény az, hogy együtt a mátrix a kvadratikus alak, mint láttuk, transzformált mátrix megfelelő szimmetrikus lineáris operátor; Ha talált kanonikus alapján másodfokú űrlapot, majd ugyanabban az időben találtunk alapján sajátvektorok szimmetrikus operátor. Így az együtthatók egy kvadratikus formában a kanonikus alapján (kanonikus együtthatók) egybeesik a megfelelő saját értékek szorzata az üzemeltető. De a sajátértékei engedik gyökerei az egyenlet (A - XE) - 0, ami nem függ a választott bázis és invariáns társított szereplő A. Következésképpen, a beállított együtthatók a kanonikus formában (Al, X) egyedileg definiált. [26]
Ez az operátor szimmetrikus. Szerint a tétel a szimmetrikus operátorok (9,45) a térben R, és van egy ortogonális normalizált alapján sajátvektorok A. Ebben alapján, a mátrix az A-dia GONAL. Mivel ez ugyanaz a mátrix és a mátrix egy bilineáris formában A (x, y) épített alapján a kanonikus alapja az A forma (x, y), szükség szerint. [27]
By tétel 9256 mátrixa önadjungált operátor bármely ortogonális és normalizált alapján egybeesik azok Hermitian ültették mátrix, más szóval, van egy hermitikus szimmetrikus mátrix. Ezzel szemben, az egyes üzemeltető némi ortogonális és normalizált alapján Hermitian szimmetrikus mátrix, egy önadjungált operátor. [28]
Ez az operátor szimmetrikus. Szerint a tétel a szimmetrikus operátorok (9,45 R a térben, és egy ortogonális normalizált alapján sajátvektorok A. Ebben alapján, a mátrix az A-dia GONAL. Mivel ez azonos mátrix és a mátrix bilineáris formában A (x, y) épített alapján a kanonikus bázis formájában egy (X y), szükség szerint. [29]
Matrix FL - ft, elemek, amelyek megfelelnek a (4), vagy ami ugyanaz, feltételek (5), az úgynevezett egységes mátrix. Egységes mátrixok, mint láttuk, a mátrix egységes átalakítások a merőleges normalizált alapon. Mivel az átmenet az egyik ortogonális normalizált alapon adják a többi egységes átalakulás, a mátrix az átmenet az egyik ortogonális normalizált alapján egy másik, például egy egységet. [30]
Oldalak: 1 2 3