Digitális Könyvtár Algebra és Számelmélet
Ha az egyenlet (3.3.3) érvényes, akkor és csak akkor, ha. a sorok nevezzük lineárisan függetlenek. Egyenlet (3.3.2) azt mutatja, hogy ha az egyik a sorok lineárisan kifejezve a másik, a sorok lineárisan függ.
Ez könnyen belátható, és beszélgetni: ha a sorok lineárisan függő, akkor van olyan szöveg, ami egy lineáris kombinációja a többi sorhoz.
Tegyük fel, például a (3.3.3). akkor.
Definíció. Hagyja, hogy a mátrix kiemelt néhány kisebb r-edik érdekében Minor és hagyja, hogy (r 1) -edik sorrendje azonos mátrix teljesen körülveszi a kisebb. Azt mondjuk, hogy ebben az esetben a kisebb határok Minor (vagy a szegélyeket).
Most bebizonyítjuk fontos lemma.
Lemma a határos kisebb. Ha kisebb a mátrix A = r értéke nullától eltérő, és az összes határos annak kiskorú nulla, akkor bármely sor (oszlop) A mátrix egy lineáris kombinációja a sorok (oszlopok) komponenseket.
Bizonyítás. Az általánosság elvesztése nélkül, azt feltételezzük, hogy a nulla kisebb rend r állt a bal felső sarokban a mátrix A =.
Az első k sora A mátrix lemma nyilvánvaló: elegendő, hogy tartalmazza egy lineáris kombinációja az ugyanabban a sorban a következő tényezők egyenlő eggyel, és a többiek - az együtthatók nullával egyenlő.
Most bebizonyítjuk, hogy a másik sorban a mátrix lineárisan kifejezve az első k sora. Erre a konstrukció Minor (R +1) -edik érdekében hozzáadásával kisebb k-adik sor (), és L-edik oszlop ():
Minor kapott nulla minden k és l. Ha. ez egyenlő nulla, mint amely két azonos oszlopot. Ha. az így kapott kisebb csekély a szegélyeket és így nulla által feltételezés.
Mi bővíteni a elemeit az utolsó Minor L-edik oszlop:
Expression (3.3.6) azt jelenti, hogy a K -edik sora az A lineárisan vannak kifejezve az első R sorok.
Mivel az átültetés mátrix értékeinek a kiskorúak nem változik (mert a tulajdonságait meghatározó tényezők), mind valósnak bizonyult az oszlopokat. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Következmény I. Bármely sor (oszlop) mátrix egy lineáris kombinációja az alapvető vonalak (oszlopok). Valójában alapján kisebb a mátrix nullától eltérő, és annak minden szomszédos kiskorúak nulla.
Következmény II. A determináns rend n, ha, és csak akkor, ha ez nulla, ha tartalmazza lineárisan függő sorok (oszlopok). Elegendősége lineáris függését sorok (oszlopok) nullával egyenlő meghatározó bizonyult korábban meghatározó tulajdonság.
Lássuk be, hogy szükség. Tegyük fel, hogy egy négyzetes mátrix a rend n, ahol csak kisebb nulla. Ebből következik, hogy a rangot ez a mátrix n-nél kisebb. azaz van legalább egy vonal, amely egy lineáris kombinációja az alapvető vonalak ez a mátrix.
Most bebizonyítjuk, egy tétel a rangot a mátrixban.
Tétel. A legnagyobb számú lineárisan független sorok a mátrixban egyenlő a maximális számát lineárisan független oszlopok és egyenlő rangra ez a mátrix.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a rangsorban az A mátrix = r. Ekkor bármely alapvető vonalak k lineárisan független, egyébként az alapvető minor nulla lenne. Másrészt, minden r 1 vagy több sorban lineárisan függő. Feltételezve, hogy a ellenkezőleg, sikerült megtalálni kisebb nagyobb r. nullától eltérő által Következmény 2. Az előző lemma. Ez ellentmond az a tény, hogy a maximális sorrendben a kiskorúak, nullától eltérő, egyenlő r. Minden bizonyult sorok tartja az oszlopokat.
Összefoglalva mutatunk be egy újabb módszert találjanak rangot mátrixban. A rangsorban a mátrix lehet meghatározni, találd meg a kisebb maximális érdekében, nullától eltérő.
Első ránézésre ez megköveteli kiszámítása bár véges, de lehet egy nagyon nagy számú kiskorúak ez a mátrix.
A következő tétel lehetővé teszi, azonban ahhoz, hogy ez a jelentős egyszerűsítést.
Tétel. Ha az A mátrix kisebb nullától eltérő, és az összes határos a kiskorúak nulla, akkor a rang r.
Bizonyítás. Elég azt mutatják, hogy minden alrendszer mátrix sorai, amikor S> r a hipotézisek Tétel lineárisan függ (Ebből következik, hogy az R - maximális száma lineárisan független sorok a mátrixban vagy annak bármely kiskorúak rend k nagyobb mint nulla).
Tegyük fel az ellenkezőjét. Hagyja, hogy a sorok lineárisan függetlenek. Szerint a lemma kiskorúak határos minden ki fog fejeződni lineárisan szempontjából a sor. amely áll Minor, és amely annak a ténynek köszönhető, hogy nem nulla, lineárisan független: