Előadás a tartalom meghatározását, hogy mit jelent, hogy összehasonlítsa a számos alapvető tulajdonságainak összeadás és
1
b; Ha kevesebb, mint b, akkor írj: a b azt jelenti, hogy a különbség a - b a „title =” Definition száma és több száma b, ha a különbség a-b pozitív. Számos kisebb, mint a b szám, ha a különbség negatív a-b. Ha nagyobb, mint b, akkor írj: a> b; Ha kevesebb, mint egy b, akkor azt írjuk: ab azt jelenti, hogy a különbség az ab „class =” link_thumb „> 3 meghatározása száma nagyobb, mint a szám, és b, ha a különbség ab pozitív szám kevesebb, mint ahány b, ha a különbség ab negatív .. Ha több, mint egy b, akkor írunk: a> b, ha kevesebb, mint egy b, akkor írunk: AB azt jelenti, hogy a különbség ab pozitív, azaz ab> 0 egyenlőtlenséget ab; ha kevesebb, mint a b, majd írunk :. ab ez azt jelenti, hogy a különbség a - b által „> b; Ha kevesebb, mint egy b, akkor írunk: a b azt jelenti, hogy a különbség a - b pozitív, azaz a-b> 0. Egyenlőtlenség a b; Ha kevesebb, mint b, akkor írj: a b azt jelenti, hogy a különbség a - b a „title =” Definition száma és több száma b, ha a különbség a-b pozitív. Számos kisebb, mint a b szám, ha a különbség negatív a-b. Ha nagyobb, mint b, akkor írj: a> b; Ha kevesebb, mint b, akkor írj: a b azt jelenti, hogy a különbség a - b on „>
, = Or. = 4 vagy hasonlítsa össze a számokat a és b -, akkor kitalálni, amely a karakterek>, vagy a = 0, 1,5> 1,25. = Or. Vagy = 0, majd 1,5> 1,25. „>. = Or. =, Or
b és b> c, akkor a> c. Bizonyítás: A feltétel a> b és b> c. Ez azt jelenti, hogy az a-b> 0 és b-c> 0. Összecsukható pozitív számok egy-b és b-c, megkapjuk (A-B) + (b-c)> 0, azaz. a-c> 0. Következésképpen a> c. "Title =" Főbb jellemzők számszerű egyenlőtlenségek tétel 1. Ha a> b és b> c, a> c. Bizonyítás: A feltétel a> b és b> c. Ez azt jelenti, hogy az a-b> 0 és b-c> 0. Összecsukható pozitív számok egy-b és b-c, megkapjuk (A-B) + (b-c)> 0, azaz. a-c> 0. Következésképpen a> c "class =" link_thumb „> 5 Alap tulajdonságok numerikus egyenlőtlenségek tétel 1. Ha a> b és b> c, a> c Proof: ... A feltétel a> b és b> c Ez az eszköz hogy ab> 0, és bc> 0. Összecsukható pozitív számok AB és BC, azt kapjuk, (ab) + (c-b)> 0, azaz. ac> 0. Ezért, a> c. b és b > c, a> c Proof: .. a feltétel a> b és b> c Ez azt jelenti, hogy az AB> 0, és bc> 0 hozzáadása pozitív számok AB és BC, azt kapjuk, (ab) + (b. c)> 0, azaz. ac> 0. Ezért, a> c. „> b és b> c, a> c. Bizonyítás: A feltétel a> b és b> c. Ez azt jelenti, hogy az a-b> 0 és b-c> 0. Összecsukható pozitív számok egy-b és b-c, megkapjuk (A-B) + (b-c)> 0, azaz. a-c> 0. . Ennek következtében a> c „> b és b> c, a> c Proof: .. Azzal a feltétellel, a> b és b> c Ez azt jelenti, hogy ab> 0 és bc> 0 pozitív számok hozzáadása ab és. bc, megkapjuk (a-b) + (bc)> 0, azaz. ac> 0. Ezért, a> c. " title = „A fő tulajdonságai numerikus egyenlőtlenségek 1. Tétel Ha a> b és b> c, akkor a> c igazolása .. A feltétel a> b és b> c Ez azt jelenti, hogy az AB> 0, és bc> 0 hozzáadása pozitív. szám a-b és bc, megkapjuk (a-b) + (bc)> 0, azaz. ac> 0. Ezért, a> c. „>
b és c - tetszőleges számú, akkor a + c> b + c. Bizonyítás: Tegyük átalakítja a különbség (a + c) - (b + c) = a-b. Azzal a feltétellel, a> b, olyan jól b - n „title =” tétel 2. Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség hozzátesszük ugyanazt a számot, az egyenlőtlenség jele nem fog változni. Bizonyítsuk be: Ha a> b és c - bármennyi, akkor a + c> b + c. Bizonyítás: Tegyük átalakítja a különbség (a + c) - (b + c) = a-b. Azzal a feltétellel, a> b, olyan jól b - n „class =” link_thumb „> 6 tétel 2. Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség hozzátesszük ugyanazt a számot, az egyenlőtlenség jele nem változik Bizonyítsuk: Ha a> b és c -. minden számot, majd a + c> b + c Bizonyítás: átalakítja a különbség (a + c) - (b + c) = a-b On állapotban a> b, így egy-b - pozitív szám azt jelenti, és a különbség ... (a + c) - (b + c) pozitív Következésképpen, a + c> b + c b és c - tetszőleges számú, akkor a + c> b + c Bizonyítás: ... átalakítjuk a különbség (a + c) - ( b + c) = a-b By hipotézist, és a> b, olyan jól-b -. n „> b és c - tetszőleges számú, akkor a + c> b + c. Bizonyítás: Tegyük átalakítja a különbség (a + c) - (b + c) = a-b. Azzal a feltétellel, a> b, olyan jól b - pozitív szám. Ennélfogva, a különbség (a + c) - (b + c) pozitív. Következésképpen, a + c> b + c „> b, és a - tetszőleges számú, akkor a + c> b + c Bizonyítás: .. átalakítjuk a különbség (a + c) - (b + c) = a-b By hipotézist. a> b, olyan jól b - n „title =” tétel 2. Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség hozzátesszük ugyanazt a számot, az egyenlőtlenség jele megváltozik bizonyítani :. Ha a> b és c - bármennyi, akkor a + . a> b + c Bizonyítás: átalakítja a különbség (a + c) - (b + c) = a-b On állapotban a> b, és így-b - n „>.
b + c, az a-c> b. Bizonyítás: Legyen a> b + c. Hozzáadása mindkét oldalán ezt a egyenlőtlenség -c szám, padló „cím =” Következmény 1. Bármilyen kifejezés lehet át az egyik oldalon a másik, változó a jele ez a kifejezés az ellenkezője. Bizonyítsuk be: Ha a> b + c, a-c> b. Bizonyítás: Legyen a> b + c. Hozzáadása a mindkét részét egyenlőtlenség szám -c, padló „class =” link_thumb „> 7 Corollárium 1. Bármilyen kifejezés lehet át az egyik oldalon a másik, a változó jele ezt a kifejezést, hogy az ellenkező Igazoljuk :. Ha a> b + c, majd . ac> b Bizonyítás. Legyen a> b + c Hozzátéve, hogy mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség száma -c, hogy ac> b + cc, vagyis ac> b b + c, akkor ac> b Proof .. Legyen a> b + c. hozzáadása, hogy mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség száma -c, a padló „> b + c, majd ac> b. Bizonyítás: Legyen a> b + c. Hozzáadása a mindkét részét egyenlőtlenség szám -c, kapjunk-c> b + c-c, azaz . Ac> b „> b + c, az AC> b Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a> b + c hozzáadása mindkét oldalán ezt a egyenlőtlenség szám -c, padló” cím = „Következmény 1. Bármilyen kifejezés átvihetők egyik oldalán . egy másik, a változó jele ez a kifejezés az ellenkezője Bizonyítsuk: Ha a> b + c, akkor ac> b Bizonyítás. Legyen a> b + c Hozzátéve, hogy mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség -c szám, emelet „>.
8. tétel 3. Ha mindkét oldalán az egyenlőtlenség szorozva ugyanazt a pozitív szám, az egyenlőtlenség jele nem fog változni. Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség szorozni ugyanazt a negatív szám, az egyenlőtlenség előjel. Bizonyítás: 1) Ha a> b és c> 0, akkor ac> bc. A hipotézis, a-b> 0 és c> 0. Ezért, (a-b) c> 0; ac-bc> 0. Ezért ac> bc. 2) Ha a> b és c 0 és C b és c> 0, akkor ac> bc. A hipotézis, a-b> 0 és c> 0. Ezért, (a-b) c> 0; ac-bc> 0. Ezért ac> bc. 2) Ha a> b és c 0 és c
9 2. Következmény Ha mindkét oldalán a szakadék egyenlőtlenség ugyanazon pozitív szám, az egyenlőtlenség jele nem fog változni. Ha mindkét oldalán a szakadék egyenlőtlenség ugyanazon negatív szám, az egyenlőtlenség előjel. Például: Ha elosztjuk mindkét oldalán egyenlőtlenség 0,75 1/3.
b és c> d, az a + c> b + d. Bizonyítás: A hipotézis, a-b> 0 és a c-d> 0. Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab) + ( "title =" összeadás és a szorzás egyenlőtlenségek 1. Tétel Emellett egyenlőtlenségek azonos előjelű fordul az egyenlőtlenség azonos előjelű Bizonyítsuk: Ha a>. .. b és c> d, az a + c> b + d Bizonyítás: az AB állapot> 0, és cd> 0 Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab) + ( „class =” link_thumb „> 10 összeadás és a szorzás egyenlőtlenségek 1. Tétel Emellett egyenlőtlenségek azonos előjelű fordul az egyenlőtlenség azonos előjelű Bizonyítsuk: .. Ha a> b és c> d, az a + c> b + d Bizonyítás: az hipotézis . ab> 0, és cd> 0 Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab) + (cd) Tak összegeként pozitív számok Pos. CIÓ, a (a + c) - (b + d)> 0, azaz, a + c> b + d b és c> d, az a + c> b + d Bizonyítás: Az AB állapot> .. . 0 és a CD> 0 Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab) + ( „> b és c> d, az a + c> b + d igazolása. By hipotézis . ab> 0, és cd> 0 Nézzük meg a különbséget (a + c) -. (b + d) = a + CBD = (ab) + (cd) Tak összegeként pozitív számok pozitív, akkor (a + c) - (b + d)> 0, azaz, a + c> b + d. „> b és c> d, az a + c> b + d. Bizonyítás: A hipotézis, a-b> 0 és a c-d> 0. Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab) + ( "title =" összeadás és a szorzás egyenlőtlenségek 1. Tétel Emellett egyenlőtlenségek azonos előjelű fordul az egyenlőtlenség azonos előjelű Bizonyítsuk: Ha a>. .. b és c> d, az a + c> b + d Bizonyítás: az AB állapot> 0, és cd> 0 Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab) + ( . „> b és c> d, az a + c> b + d Bizonyítás: az AB állapot> 0, és cd> 0 Nézzük meg a különbséget (a + c) - (b + d) = a + CBD = (ab). + ( „cím =” összeadást és szorzást egyenlőtlenségek 1. Tétel Ezenkívül egyenlőtlenségek azonos előjelű fordul egyenlőtlensége ugyanaz a jel Igazoljuk :. Ha a> b és c> d, az a + c> b + d igazolása. AB feltétel> 0 és a CD> 0. P ssmotrim különbség (a + c) - (b + d) = a + c-b-d = (A-B) + ( „>
b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd. Bizonyítás: Tekintsük a különbség ac-bd = AC „title =” tétel 2. Ha megszorozzuk az egyenlőtlenségek ugyanaz az előjele, hogy a bal és a jobb oldali pozitív, megkapjuk az azonos előjelű. Bizonyítsuk be: Ha a> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd. Bizonyítás: Tekintsük a különbség ac-bd = AC „class =” link_thumb „> 2. tétel 11 Ha megszorozzuk az egyenlőtlenségek ugyanaz az előjele, hogy a bal és a jobb oldali pozitív, megkapjuk az azonos megjelölést Bizonyítsuk :. Ha a> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd Bizonyítás. Nézzük meg a különbséget AC-BD = AC-bc + bc-BD = c (ab) + b (CD) AB feltétel> 0. cd> 0, b> 0, c> 0. Így, c (ab) + b (CD)> 0, azaz, AC-BD> 0, ahol a hálózati> bd. b, c> d és a, b, . c, d - pozitív számok, akkor ac> bd Bizonyítás: Tekintsük a különbség ac-bd = AC - „> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd. Bizonyítás: Tekintsük a különbség ac-BD = AC-bc + bc-BD = c (a-b) + b (c-d). A hipotézis, a-b> 0, c-d> 0, b> 0, c> 0. Ezért, c (a-b) + b (c-d)> 0; ac-bd> 0, ahol a hálózati> bd. "> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd Bizonyítás. Nézzük meg a különbséget AC-BD = AC-" cím = „Tétel 2. Ha megszorozzuk az egyenlőtlenségek ugyanaz az előjele, hogy a bal és a jobb oldali pozitív, megkapjuk az azonos előjelű Bizonyítsuk :. Ha a> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd bizonyíték. : Nézzük meg a különbséget AC-BD = AC - „> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd. Bizonyítás: Tekintsük a különbség ac-bd = AC „title =” tétel 2. Ha megszorozzuk az egyenlőtlenségek ugyanaz az előjele, hogy a bal és a jobb oldali pozitív, megkapjuk az azonos előjelű. Bizonyítsuk be: Ha a> b, c> d és a, b, c, d - pozitív számok, akkor ac> bd. Bizonyítás: Tekintsük a különbség ac-bd = ac - „>
3 2 1,5-6 5-4,5 1,2 2,2 1 3 1,2 "cím =" példa 1. 2. példa 5,2> 1,5 3 2 - 6 5-4,5 1 2 2,2 1 március 1,2 "class =" link_thumb „> 1. példa 12 2. példa 5,2> 1,5 3 2 - 6 5-4,5 1.2 2.2 1 3 1, 1,5 2 3 2 - 6 5-4,5 1.2 2.2 1 3 1.2 "> 2 3 1,5-6 5-4,5 1,2 2,2 1 3 1.2" > 1,5 3 2 - 6 5-4,5 1.2 2.2 1 március 1,2 "cím =" példa 1. 2. példa 5,2> 1,5 3 2 - 6 5-4,5 1,2 2,2 1,2 1 március "> 2 3 1,5-6 5-4,5 1,2 2,2 március 1 1,2" cím = „példa 1. példa 2 5,2> 3 2 1,5-6 5-4,5 1,2 2,2 1 3 1.2 „>
b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R 13 Hatványozás numerikus egyenlőtlenség egyenlőtlenséget, amelyben a bal és a jobb oldali pozitív, akkor ez lehet építeni bármilyen racionális fok: ha a> b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R b> 0, R> 0, akkor egy R> b r; (1), ha a> b> 0, R
0, b> 0. Azzal a feltétellel, a> b. Bizonyítsuk be: 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis, A 1 / n b 1 / n. De akkor, Önszerelő ez az egyenlőtlenség természetes mértékű N, megkapjuk ab, "title =" A tulajdonság (1): Legyen R = 1 / n, ahol n - egész szám 1-nél nagyobb, a> 0, b> 0. Azzal a feltétellel, a> b. Bizonyítsuk be: 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis, A 1 / n b 1 / n. De aztán, erecting ez az egyenlőtlenség a teljes mértékét N, megkapjuk ab, "class =" link_thumb „> 14 Property (1): Legyen R = 1 / n, ahol n - egész szám 1-nél nagyobb, a> 0, b> 0 .. Azzal a feltétellel, a> b Bizonyítsuk: 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis egy 1 / nb 1 / n, de ha ez az egyenlőtlenség felállító természetes energia n ,. . megkapjuk ab, ami ellentmond a feltétel a> b Így, a> b> 0 azt jelenti, hogy egy 1 / n> b 1 / n 0, b> 0 a feltétel a> b Igazoljuk: ... 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis, a 1 / nb 1 / n De aztán, növelve ez az egyenlőtlenség természetes erő n, megkapjuk ab „> 0, b> 0 .. Azzal a feltétellel, a> b. Bizonyítsuk be: 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis, A 1 / n b 1 / n. De aztán, növelve ez az egyenlőtlenség természetes erő n, megkapjuk ab, ami ellentmond a feltételnek a> b. Tehát, egy> b> 0 azt jelenti, hogy egy 1 / n> b 1 / n „> 0, b> 0 A feltétel a> b Igazoljuk: ... A 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, . ez nem igaz, vagyis egy 1 / nb 1 / n De aztán, növelve ez az egyenlőtlenség természetes erő n, megkapjuk ab, "title =" Az ingatlan (1): Legyen r = 1 / n, ahol n - természetes szám 1-nél nagyobb, a> 0, b> 0 a feltétel a> b Igazoljuk: .. 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, azaz egy 1 / NB 1 / n. De aztán, növelve ez az egyenlőtlenség természetes erő n, megkapjuk ab „> 0, b> 0. Azzal a feltétellel, a> b. Bizonyítsuk be: 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis, A 1 / n b 1 / n. De akkor, Önszerelő ez az egyenlőtlenség természetes mértékű N, megkapjuk ab, "title =" A tulajdonság (1): Legyen R = 1 / n, ahol n - egész szám 1-nél nagyobb, a> 0, b> 0. Azzal a feltétellel, a> b. Bizonyítsuk be: 1 / n> b 1 / n Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ez nem igaz, vagyis, A 1 / n b 1 / n. De aztán, növelve ez az egyenlőtlenség természetes erő n, megkapjuk ab „>
b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R tulajdonság 15 (2): Ha az r 0. A tulajdonság (1) a feltétel a> b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a egy R b> 0, az következik, hogy egy -r> b -r. Szorzása mindkét oldalán ez az egyenlőtlenség egy pozitív szám aR b r, megkapjuk b r> r, azaz a r
16 1. példa: Összehasonlítás száma: és As, majd. A figyelem ez az egyenlőtlenség a negatív erő, megkapjuk