A metrikus tenzor, Riemann tér

A metrikus tenzor, Riemann tér.

Expression előforduló (5,49), az átmenet az egyik rendszerből a másikba alakítjuk tenzor

Más szóval, a szimmetrikus kovariáns tenzor rangját. Hívta a metrikus tenzor.

Vannak „terek, ahol lehetetlen bevezetni egy koordináta-rendszerbe. Egydimenziós „terek” ez a típus a felület egy gömb Ha a koordinátákat adja szélesség és hosszúság, a távolság a két végtelenül közel pont a gömb felülete a következőképpen fejezhető ki a koordináta különbségek .:

Annak érdekében, hogy az ilyen folyamatos sokféleség szempontjából a szóban forgó vita tárgyát, úgy a tér egy metrikus tenzor, nem lakás a kérdés, hogy lehet-e beléjük egy derékszögű koordináta-rendszerben. Oktatási, ahol a beállított „szögletes eltérés hossza” t. E. Változtatható homogén másodfokú függvény a koordináta különbségek nevezett metrikus tér vagy Riemann térben. „Ha lehetséges Riemann tér be egy koordináta-rendszer, amelyben a metrikus tenzor minden ponton megegyezik ezzel a koordinátarendszer derékszögű és euklideszi tér nevezik.

Ha végtelenül távolság viszonya határozza meg

és állandó, ez egy kovariáns tenzor. A korábbi bizonyítékot azon a feltételezésen alapul, hogy ugyanazt a kifejezést más szóval azt feltételeztük bevezetésének lehetőségét egy derékszögű koordináta-rendszerben. Annak bizonyítására, hogy a transzformációs tulajdonságai nem függenek ezt a feltételezést, nézzük a következő egyenletet:

kifejezi invariancia felváltását marad, ezt kapjuk:

Tekintettel a önkényesség lehet egyenlővé együtthatók mindkét oldalán az egyenlőség, ami azt mutatja, az érvényességét (5,60).

Ha komponens determináns nem nulla, akkor be új értékrend szerinti kapcsolatok

Ahhoz, hogy az átalakítás tulajdonságai, először konvertálja. Cserélje ki őket kifejezést

További megszorozzuk reláció. By (5,59) jobb oldalán utal, hogy a bal oldali kapjuk:

Összehasonlítva (5,66) és az (5.64) adja

t. e. ezek a komponensek a kontravariáns tenzor. Ez tenzor szimmetrikus. Ez kimutatható megszorozzuk (5,64) a. Ezután a bal oldali lesz egyenlő

míg a jobb oldalon hajlamos

t. e., azt látjuk, hogy

és ezt összehasonlítjuk (5,64), azt látjuk,

Tenzor úgynevezett kontravariáns metrikus tenzor. Annak értékeit, amint az (5.64) választja el kiskorúak meghatározó

Egy derékszögű koordináta-rendszer megegyezik