Topológia Krugosvet enciklopédia
Topológia, egy ága a matematika, tanulmányozta a tulajdonságait adatok (vagy terek) vannak tárolva folyamatos deformációkat, mint például a feszültség, tömörítés vagy meghajlítjuk. Folyamatos deformáció - ezt a formát deformáció, amelyben nincs folytonossági hiány (azaz, megsértése integritás adatok), vagy egy ragasztó (azaz, az azonosítását annak pont). Az ilyen geometriai tulajdonságai kapcsolódó helyzetében, nem az alakja vagy mérete az ábrán. Ezzel szemben az euklideszi és Riemann-geometria, hiperbolikus geometria és más geometriák érintett mérési hosszak és szögek, a topológia kívánunk-és minőségi. Korábban ez volt az úgynevezett „elemzés weboldal” (helyzetelemzés), valamint a „elmélete ponthalmazok.” A tudományos és népszerű irodalom topológia gyakran nevezik „geometria a gumilap”, mert lehet vizuálisan képviseletében a geometria alakzatok rajzolt egy tökéletesen rugalmas gumi lapok, amelyek ki vannak téve a feszültség, tömörítés vagy meghajlítjuk. Topológia - egyik legújabb ága a matematika.
1640 A francia filozófus és matematikus Descartes (1596-1650) talált invariáns összefüggés a csúcsok száma, élek és felületek egyszerű poliéder. Ez kapcsolatban van kifejezve Descartes V általános képletű - E + F = 2, ahol V - a csúcsok száma, E - az élek számát, és F - az arcok száma. 1752-ben L. Euler svájci matematikus (1707-1783) kapta a szigorú bizonyítás e formula. Egy másik hozzájárulása a fejlesztési topológia az Euler - a döntést a híres probléma a Königsberg híd. Ez egy sziget a Pregel folyó Königsberg (azon a helyen, ahol a folyó osztja két ága - a régi és az új Pregel), és hét hidak, amelyek összekötik a szigetet strandok. A feladat az volt, hogy megtudja, hogy lehetséges-e, hogy megkerülje a hét híd a folyamatos útvonalat, hogy látogasson meg minden alkalommal, és visszatért a kiindulási pont. Euler helyébe telkek pontok és hidak - vonalak. A kapott konfiguráció úgynevezett Euler grafikon, pont - a csúcsok, és a vonalak - bordák. A csúcsok ő osztva páratlan és páros, attól függően, hogy páros vagy páratlan számú borda jön ki a tetején. Euler megmutatta, hogy minden élt a grafikon lehet megkerülni pontosan egyszer egy folyamatos zárt útvonalon, csak akkor, ha a gráf tartalmaz egyetlen, még a csúcs. Ahogy a grafikon a probléma a königsbergi hidak amely csak páratlan csúcs, a hidakat nem lehet elkerülni a folyamatos útvonal, látogatás minden pontosan egyszer, és visszatér az elején az útvonal.
Euler javasolta megoldást a problémára, a Königsberg híd függ csak a relatív pozíciója hidak. Ez jelentette a hivatalos kezdete topológia egy ága a matematika. K.Gauss (1777-1855) teremtett az elmélet a csomó, amely később részt I.Listing (1808-1882), P.Teyt (1831-1901) és a Dzh.Aleksander. 1840 A.Mobius (1790-1868) fogalmazta meg az úgynevezett négy szín probléma, amelyet ezt követően vizsgálta O.de Morgan (1806-1871) és A.Keli (1821-1895). Az első szisztematikus munka topológia előzetes kutatások voltak a tőzsdei topológia (1874).
Az alapítók a modern topológia Cantor (1845-1918), Poincaré (1854-1912), és L.Brauer (1881-1966).
Fórumok topológia.
A topológia lehet három területre osztható: 1) A kombinatorikus topológia tanulmányok geometriai forma által megoszlásuk a részleges formák, szabályos módon egymással szomszédos; 2) az algebrai topológia, felelős tanulmányozása algebrai struktúrák társított topológiai terek, a hangsúlyt a elmélete csoportok; 3) set-elméleti topológia vizsgált több mint klaszterek pont (ellentétben a kombinatorikus módszerekkel, amely egy objektum mint az unió egyszerűbb tárgyak), és meghatározott feltételek leíró topológiai tulajdonságok, mint a nyitottság, visszahúzódó, kapcsolat, stb Természetesen az ilyen felosztás a topológia a pályán kissé önkényes; Sok topológiai inkább azt szét kell a többi rész.
Néhány alapfogalom.
A topologikus tér áll készleteinek sokaságán pontok S és S részhalmazát S. kielégíti a következő axiómák:
(1) Az összes beállított és az üres halmaz S tartoznak S halmaz;
(2) kombinálásával bármely készleteinek sokaságán több S jelentése kénatom;
(3) A metszéspontjában bármely véges számú készlet S halmaza S.
A készlet tartalmazza az S halmaz, az úgynevezett nyitott készletek. és a tűzte - topológia S. Cm. Halmazelmélet.
A topológiai transzformáció. vagy homeomorfizmus. Egy geometriai forma S a másik, S ¢, - a kijelző (p ® p ¢) a P pontok S szempontjából p ¢ S ¢ kielégíti a következő feltételeket: 1) meghatározza azokat levelezés között a pontok között S és S ¢ bijektív azaz minden egyes pontja p S felel csak egy p pont ¢ S ¢ és az egyes P pont ¢ p kijelzők csak egy pontot; 2) térképezés folyamatosan (folyamatos mindkét irányban), azaz Ha adott két p. q és p a pont S mozog úgy, hogy a távolság közte és a Q pont nullára, akkor a távolság közötti megfelelő pontokat ¢ p, q a ¢ S ¢ is nullához, és fordítva.
Geometriai formák, múló egymáshoz egy topológiai transzformáció nevű homeomorf. A kör és a négyzet határ homeomorf, mivel lehet alakítani egymással topológiai transzformáció (vagyis a hajlítási és nyújtás nélkül tele, vagy például ragasztással, stretching egy négyzet határt, és egy kört leírt körül). Gömb és kocka felülete is homeomorf. Annak bizonyítására homeomorf számok, elegendő kijelölni a megfelelő átalakítás, de az a tény, hogy bizonyos számokat találunk egy átalakulás meghiúsul, nem bizonyítja, hogy ezek a számok nem homeomorf. Itt segít a topológiai tulajdonságait.
A topológiai tulajdonság (vagy topológiai invariáns) tulajdonsággal, az úgynevezett geometriai formák, amelyek együtt ez a szám is van bármilyen alak, amelyben alatt halad át egy topológiai átalakulás.
Ha nyitott csatlakoztatott set, amely legalább egy ponton, az úgynevezett domain.
A terület, ahol bármely zárt egyszerű (azaz homeomorf kör) görbe lehet szerződött egy pont, fennmaradó minden alkalommal ebben a régiónak a neve egyszerűen csatlakoztatva. és a megfelelő területet az ingatlan - egyszerűen csatlakoztatható. Ha zárt egyszerű görbe ezen a területen nem lehet szerződött egy pont, még mindig ezen a területen, a terület az úgynevezett szaporodnak. és a megfelelő területet az ingatlan - a többszörösen. Képzeljünk el két kör alakú területen vagy lemezzel, az egyik lyuk nélküli, a másik lyuk. Az első terület egyszerűen csatlakoztatva, a második szaporodnak. Egyszerűen csatlakoztatható és szaporodnak - topológiai tulajdonságait. Egy terület egy lyukat nem megy alá homeomorfizmus a területen nincs lyuk. Érdekes megjegyezni, hogy ha megfogja a szakasz az egyes lyukak szélén a lemezt egy többszörösen lemez, akkor egyszerűen csatlakoztatható.