Bázis és dimenzió a vektortér

Bázis és dimenzió a vektortér

Definíció. Hagyja, hogy a vektortér \ (\ mathit \) van egy sor vektorok \ (e_1, e_2 e_n \.), Az alábbi tulajdonságokkal:

1. Ezek lineárisan független,

2. Bármilyen más vektor \ (\ mathit \) lineáris kombinációja.

Akkor azt mondjuk, hogy a vektor \ (e_1, e_2. E_n \) alapját képezik a \ (\ mathit \), és a szám \ (n \) a dimenziója \ (\ mathit \).

A méret a vektortér \ (\ mathit \) jelöljük \ (halvány \ mathit \).

Ugyanakkor vektortér, akkor adja meg a különböző bázisok.

Példa. Let \ (\ mathit \) - dimenziós vektortér \ (2 \) - oszlopok. Let \ (e_1 = (1,0) ^ T, e_2 = (0,1) ^ T \), \ (f_1 = (1,1) ^ T, f_2 = (1, -1) ^ T \). Könnyen azt mutatják, hogy ezek a vektorok minden pár - lineárisan függetlenek. Bármely olyan vektor, \ (u = (\ xi _1, \ xi_2) ^ T \) lehet ábrázolni, mint egy lineáris kombinációja a vektorok Ezen párok: \ (u = \ xi_1e_1 + \ xi_2e_2 = \ frac (\ xi_1 + \ xi_2) f_1 + \ frac (\ xi_1- \ xi_2) f_2 \).

Példa. Let \ (\ mathit \) - vektor tere polinomok mértéke 2, úgy a következő sor jellemzők: \ (p_1 (x) = x, \ quad p_2 (x) = x + x ^ 2, \ quad p_3 (x) = 1 + 2x ^ 2 \). Megmutatjuk, hogy ezek a polinomok alapját képezik a vektor helyet. Ezek lineáris függetlenség fent tárgyalt. Továbbá megmutatjuk, hogy bármely elem \ (f (x) = c_1 + c_2x + c_3x ^ 2 \ a \ mathit \) lehet ábrázolni, mint egy lineáris kombinációja \ (\ alpha _1p_1 (x) + \ alpha _2p_2 (x) + \ alpha _3p_3 (x) \) használható \ (\ alpha _1, \ alpha _2, \ alpha _3 \). Behelyettesítve a kifejezéseket a funkciók \ (p_1 (x), p_2 (x), p_3 (x) \), és egyenlővé együtthatók különböző hatásköre \ (x \), megkapjuk három egyenletet: \ (\ alpha _3 = c_1, \ quad \ alpha _1 + \ alpha _2 = c_2, \ quad \ alpha _2 + 2 \ alpha _3 = c_3 \). Ez könnyen ellenőrizhető, hogy ezek az egyenletek egy egyedülálló megoldás \ (\ alpha _3 = c_1, \ quad \ alpha _2 = c_3-2c_1, \ alpha _1 = c_2 + 2c_1-c_3 \).

Vegyünk egy tetszőleges vektor \ (u \ in \ mathit \). Ezután van egy ábrázolása Ez a vektor, mint egy lineáris kombinációja alapján vektorok, \ [u = \ sum_ ^ n \ xi_k e_k. \]

Definíció. Számok \ (\ xi_k \), \ (k = 1,2. N \), az úgynevezett a koordinátáit a vektor \ (u \) a bázis \ (e_1, e_2. E_n \).

Jóváhagyása. vektor koordináták ennek alapján egyértelműen meghatározzák.

Bizonyítsuk be ezt az állítást.

Ha a \ (x = \ sum_ ^ n a_k e_k = \ sum_ ^ n b_k e_k \), majd a \ (\ sum_ ^ n (a_k - b_k) e_k = 0 \), és ez az egyenlőség \ ((\) - alapján! ) csak akkor hajtható végre, ha a \ (a_k - b_k = 0 \) minden \ (k \)

Példa. Let \ (\ mathit \) - dimenziós vektortér \ (n \) - oszlopok. Let \ (e_1 = (1,0,0. 0) ^ T, e_2 = (0,1,0. 0) ^ T. E_n = (0,0. 0,1) ^ T \). Ezután minden oszlop \ (u = (\ xi_1, \ xi_2. \ Xi_n) ^ T = \ sum_ ^ n \ xi _ke_k \), úgy, hogy a számok \ (\ xi _K \) képviseli a koordinátáit a vektor \ (u \) a ezen az alapon.

Elég gyakran van egy probléma a kérelmek ellenőrzése, hogy egy adott halmaza vektorok lineárisan független, legyenek azok akár alapot ebben a térben, illetve feladat kiosztás, megadott vektorok egy ilyen gyűjtemény, amely az alapját képezi. Mindezek a problémák megoldhatók segítségével a tétel az alap kisebb. Nevezetesen, a vektor jellemzően képviselt tágulási néhány alapon, hogy ők is képviselteti formájában vonalak. Formában a mátrix sorai a találunk, és rang alapján csekély. Helyezett ebben az esetben egyenlő lesz a száma lineárisan független vektor a készletben, és a kisebb bázis vonalak megfelelnek a kívánt lineárisan független vektor. Ha a rang egyenlő méretű az eredeti helyet, az eredmények a lineárisan független vektorok képezik az alapját.

1. Határozza meg, hogy lineárisan független alábbi vektorokat: \ [a_1 = (2, -3,1), \ quad a_2 = (3, -1,5), \ quad a_3 = (1,3,2). \]

2. Határozza meg, hogy lineárisan független alábbi vektorokat: \ [a_1 = (1,0,0,2,5), \ quad a_2 = (0,1,0,3,4), \ quad a_3 = (0, 0,1,4,7), \ quad a_4 = (2, -3,4,11,12). \]

3. Legyenek adott lineárisan független vektor \ (v_1, v_2. V_n \). Lineárisan független vektorok \ (v_1-v_2, v_2-v_3. V_-v_n, v_n \)?

4. összes értékeket \ (\ lambda \), ahol a vektor a \ (b \) egy lineáris kombinációja a vektorok \ (a_1, a_2, a_3 \). \ [A_1 = (3,2,5), a_2 = (2,4,7), a_3 = (5,6,7), b = (1,3,5). \]

5. Let \ (dim \ mathit = n