Matematikai Diákolimpia Diákolimpia és feladatok
Válasz: a) 0; b) 1, mivel a 9 maradékot ad 1, ha osztva 8.
Igazoljuk, hogy N³ + 2n osztva 3 bármely n természetes szám.
Az n szám érhetnek, ha osztva 3 az egyik a három maradékok: 0, 1, 2, úgy három esetben.
Ha n 0 egy maradékot kapunk, majd N³ és 2n vannak osztva 3, és így N³ + 2n is osztva három.
Ha n 1 egy maradékot kapunk, a maradékot ad N³ 1, 2n - 2 maradék, egy 2 + 1 osztható 3.
Ha n 2 maradékot kapunk, a maradékot ad 1 Nl, N³ - maradékot 2, 2n - maradékot 1 és 2 + 1 osztható 3.
Igazoljuk, hogy n 5 + 4n osztva 5 bármely n természetes szám.
Megjegyzés: Menj át a maradványai a szétválás 5.
Igazoljuk, hogy Nl + 1 nem osztható 3, bármely természetes szám n.
Menj át a maradványai a szétválás 3.
Igazoljuk, hogy N³ + 2 nem osztható 9, bármely természetes szám n.
Menj át a maradék osztás 9.
Igazoljuk, hogy N³ - n osztható 24 bármilyen páratlan n.
Megjegyzés: Bizonyítsuk be, hogy a megadott számú osztható 3 és 8.
a) Bizonyítsuk be, hogy P² - 1 osztható 24, ha p - prímszám, és p> 3.
b) Bizonyítsuk be, hogy P² - q² osztva 24, ha p és q - prímszámok nagyobb mint 3.
Megjegyzés: Bizonyítsuk be, hogy ezek a számok vannak osztva, és a 3. és 8..
Természetes számok x, y, z értéke olyan, hogy x² + y² = ZZ. Bizonyítsuk be, hogy legalább az egyik ezek a számok osztható 3.
Ha bármelyik x, y vagy nem osztható 3, x²! És Y maradékot kapunk 1 való osztás 3. Így az összegük maradék 2. osztás 3. De ZZ nem lehet egy ilyen csoport.
a és b - természetes számok, és a szám a² + b² osztható 21. megjelenítése hogy ez osztható az 441.
Ellenőrizze, hogy a és b osztani, és 3 és 7.
a, b, c - pozitív egész szám, ahol a + b + c elosztjuk 6. Igazoljuk, hogy a³ + b³ + C³ is osztva hat.
Ellenőrizze, hogy a több x³ és x ugyanolyan való osztás maradéka 6.
Három prímszám p, q és r, nagy, 3 formában egy számtani: p = p, q = p + d, r = o + 2d. Igazoljuk, hogy d osztva 6.
Ha d - páratlan, akkor a számok között p és q értéke is, ami lehetetlen. Ha d nem osztható 3, akkor a számok között p, q és r osztható 3, ami szintén lehetetlen.
Bizonyítsuk be, hogy a négyzetének összege a három egész szám, 7-re csökkentjük, nem osztható 8.
Ismerje meg a lehetséges maradványait négyzetek amikor osztva 8.
Az összeg három pozitív egész szám négyzetszám, osztva 9. Bizonyítsuk be, hogy a kettő lehet választani, amelyek különbsége osztható 9.
Lehetséges maradványai négyzetének osztás 9: 0, 1, 4, 7. ellenőrizhető, hogy ha az összeg a három közülük osztható 9, hogy köztük van két azonos.
Keresse meg az utolsó számjegye 1989 1989.
Először vegye figyelembe, hogy az utolsó számjegye 1989 1989 egybeesik az utolsó számjegye 9, 1989 írunk az utolsó néhány számjegyét kezdeti hatáskörét 9: 9, 1, 9, 1, 9, ....
Mióta az utolsó számjegy a következő mértékben elegendő, hogy szaporodnak a számot 9-9 csak az utolsó számjegye az előző fokozat, egyértelmű, hogy legyen 1 (9 9 # 149; 9 = 81), és a, 1 - 9 (1 # 149; 9 = 9).
Így a furcsa hatásköre kilenc végződő 9. Ezért az utolsó számjegye 1989 1989 - kilenc.
Keresse meg az utolsó számjegye 2 50.
Írunk le az utolsó néhány számjegyét kezdeti hatványaira: 2, 4, 8, 6, 2, .... Látjuk, hogy a február 5, valamint 2¹ végződő 2. Ahogy a következő ábra teljesen határozza meg az utolsó számjegy az előző fokozat, akkor „hurok”: június 2. (a 2²) végződik, 4, február 7 (mint 2³ ) - 8 2 8 - 6 február 09-02, stb Mivel a ciklus hossza egyenlő 4, az utolsó számjegy a 2-es szám 50 maradékot osztásával meghatározva száma 50 által 4. Mivel ez egyenlő 2, az utolsó számjegy a 2-es szám 50 egybeesik az utolsó számjegy a 2², vagyis egyenlő 4.
Abban milyen számot végződik száma 777 777?
Szerezd meg a többi a szétválás 3 2¹ºº.
Mentesítés maradékokat a szétválás 3 kezdeti több hatáskörét kettő. Bizonyítsuk be, hogy van egy „hurok”.
Keresse a fennmaradó osztás március 7, 1989.
Bizonyítsuk be, hogy 2222 5555 + 5555²²²² osztható 7.
Számítsuk ki a fennmaradó elosztjuk ezt a számot 7, és biztosítja, hogy egyenlő nullával.
Keresse meg az utolsó számjegye.
a) p, p + 10, p + 14 - prímszám. Keresse p.
b) p, 2P + 1, 4p + 1 - prímszám. Keresse p.
Tekintsük a maradékok modulo 3. Az egyik ilyen szám osztható 3-a) p = 3; b) p = 3.
8p² + p és 1 - prímszám. Keresse p.
és P² + p 2 - prímszám. Bizonyítsuk be, hogy p³ + 2 - szintén prímszám.
Igazoljuk, hogy p = 3.
Igazoljuk, hogy vannak olyan természetes és b számok olyan, hogy a² - 3b² = 8.
Tekintsük maradékok modulo 3.
a) Lehet a négyzetének összege két páratlan szám, hogy egy tökéletes négyzet?
b) Lehet a négyzetének összege a három páratlan szám, hogy egy tökéletes négyzet?
Ellenőrizzük, hogy a maradékot egy négyzet a páratlan számú való osztás 4 jelentése 1, a maradékot egy négyzet páros szám - 0.
Bizonyítsuk be, hogy a négyzetösszege öt egymást követő egész szám nem egy tökéletes négyzet.
Ellenőrizzük, hogy a maradékot egy négyzet a páratlan számú való osztás 4 jelentése 1, a maradékot egy négyzet páros szám - 0.
p, 4p² + 1 és 6p² + 1 - prímszám. Keresse p.
A válasz: p = 5. Vegyük maradékok, ha 5-tel osztva.
Igazoljuk, hogy a számok 100 ... 00500 ... 001 (mindegyik a két csoport 100 nullák) nem egész szám kocka.
Ez a szám adja a maradékot 7 való osztás 9.
Igazoljuk, hogy a³ + b³ + 4 nem egész szám kocka alatt bármely természetes és b.
Tudja meg, amely meg tudja adni maradékot száma a³ + b³ + 4 osztás kilenc.
Igazoljuk, hogy 6n³ + 3 nem egy hatodik fokozat közötti egész szám bármely n természetes szám.
Megtudja, amelyek maradékot adhat 6n³ + 3 számú Division 7.
x, y, z - természetes számok, ahol x² + y² = ZZ. Bizonyítsuk be, hogy xy osztható 12.
Ha egyik a számok x, y nem osztható 3, majd ZZ maradékot ad 2, ha osztva 3, ami lehetetlen. Közlemény most, hogy a tér a páratlan szám, ha osztva 8 ad fennmaradó 1, a tér a páros számú nem osztható 4, - maradékot 4 négyzetes osztható 4, - maradékot 0. Igazoljuk, hogy X és Y jelentése egyaránt páros, vagy köztük egy 4 többszöröse.