Valódi gyökér sokfélesége
1. Tegyük fel, hogy - a beállított lehetséges kimenetelek (mérlegeli a monetáris eredmények). Egyszerű lottó lesz az úgynevezett set valószínűségek. ahol - a valószínűsége, hogy egy kimenetel és. A sor egyszerű lottó keresztül.
Definíció. Fogyasztói preferenciák képviselte függvényében várható hasznosság. ha lehet rendelni egy számot eredményt oly módon, hogy bármely két lottó és a különféle egyszerű lottó: egyenértékű.
U. függvény definiált lottó, úgynevezett függvényében várható hasznosság vagy hasznosságfüggvénye Neumann-Morgenstern (Neumann-Morgenstern).
Funkciót. meghatározni az összeget, az úgynevezett elemi függvény a hasznosság vagy funkcióját Bernoulli segédprogram (feltételezzük, hogy a folyamatos és növekvő).
Érvényesítése (Egyetlen a várható hasznosság függvény) .Ha a funkció - függvényében várható hasznosság, ami a preferenciák definiált. akkor - a többi várható hasznossági függvény, amely tükrözi az azonos preferencia akkor és csak akkor, ha létezik egy számot, úgy, hogy minden lottó.
Definíció. Azt mondjuk, hogy az egyén a kockázatkerülés. ha lottó nem jobb, mint a várható kifizetés egy lottó neki. kapott teljes bizonyossággal. Ha a fogyasztó szigorúan preferálja várható nyer a lottón is, azt mondják, hogy ő erősen idegenkedik kockáztatni vagy riskofob.
Azt mondjuk, hogy az egyén kockázatát semleges. ha ő közömbös a sorsoláson, és annak várható elért nyereség teljes bizonyossággal.
Azt mondjuk, hogy az egyén hajlamos kockázatot. ha inkább lottó várható elért nyereség teljes bizonyossággal. Ha a fogyasztó szigorúan preferálja lottó várható nyeremény, azt mondják, hogy ez feltétlenül hajlandók kockázatot vagy riskofil.
Ha az egyéni preferenciák lehet képviseli függvényében várható hasznosság, a kockázatkerülés a konkáv hasznossági függvény az egység (a riskofoba - szigorúan konkáv); kockázati étvágy megegyezik a konvex jellege elemi segédprogram funkciót (riskofila - szigorú konvexitás); a kockázat-semleges egyes elemi hasznosság függvény lineáris :. hol. vagy.
Opredelenie.Denezhnym (garantált) egyenértékű a sorsolás a pénzösszeg (amelyet teljes bizonyossággal), melyben az egyén azonos segédprogramot ezen a sorsoláson :.
A kockázati prémium - a maximális összeg, amelyből az egyén hajlandó adni, hogy nem vesz részt a kockázat :.
Jóváhagyása. Az egyes-riskofoba bármely lottó végre (azaz értékeli minden lottó kisebb mennyiségben annak várható erősítés).
2. A modell a biztosítási igény.
Tekintsük-riskofoba egyéni preferenciák, amelyek leírását a várható hasznosság egy differenciálható elemi hasznossági függvény. Hagyja, hogy a vagyon az egyéni ellátást. Ugyanakkor lehetőség van a veszteség e vagyon egyenlő. . eredményeként valamilyen baleset, annak a valószínűsége, amely egyenlő. Az egyén lehet vásárolni balesetbiztosítást veszélyeztetett semleges biztosító, nem a fuvarozó működési költségek, illetve egységnyi lefedettség (). Hagyja, - az összeg a biztosítási fedezet által vásárolt az egyén, azaz az az összeg, amelyért biztosított. Azt feltételezzük, hogy a biztosítási összeg meghaladja a veszteség, tilos, azaz . Ha az egyén vásárol biztosítást egység, gazdagsága bekövetkeztével baleset lesz. és egyéb -. Az egyes kiválasztja hatókörű, amely biztosítja a maximális várható hasznosság, azaz egy megoldást a következő problémára:
Abban az esetben. azt mondjuk, hogy a feltételek a biztosítási biztosításmatematikai igazságos. és ha azt mondjuk, hogy a biztosítás nem matematikailag korrekt.
Valódi gyökér sokfélesége
b) az igazi gyökere sokfélesége. Ha a gyökér a karakterisztikus egyenletnek sokfélesége, akkor természetesen nem tudjuk használni ugyanazt a fajta részleges megoldásokat. ennek megfelelő gyökér óta Wronski meghatározó lesz ugyanazokat az oszlopokat, és ezért eltűnik. Ebben a formában képesek leszünk, hogy csak az egyik egyedi megoldásokat. Belátható, hogy az összes részleges megoldásokat, amelyek alkalmasak a gyökér a karakterisztikus egyenlet van formájában. azaz funkciókat. megfelelnek az eredeti homogén differenciálegyenlet. Megjegyezzük mindenekelőtt az, hogy ha - a gyökere sokaságának az egyenlet, akkor - a gyökere minden egyenlet.
Megmutatjuk, hogyan kell elvégezni a bizonyíték arra, hogy (ügy) megfelel az eredeti homogén egyenletet. Behelyettesítve a bal oldalán az eredeti homogén differenciálegyenlet és kapjunk
Az első expressziós zárójelben eltűnik, mivel - a gyökér a karakterisztikus egyenlet, a második expressziós eltűnik szögletes zárójelben, mivel a - gyökér az egyenlet. Hasonlóképpen ki lehet mutatni, hogy a funkció. megfelelnek az eredeti homogén differenciálegyenlet.
Példa Példa. Hogy oldja meg a homogén differenciálegyenlet. A karakterisztikus egyenlet van megadva. és így, ez gyökerei 0 (multiplicitás négy) és 1 (multiplicitás két). Így az általános megoldás a differenciálegyenlet az eredeti funkciót.
c) Egyszerű komplex gyökér. A megoldása egy algebrai egyenlet valós együtthatók jelenlétében gyökér komplexum jelenlétében komplex konjugált gyökér. Ezért, az egyik lehet például különösen oldatok megfelelő pár gyökerek, hogy a funkció. Annak érdekében azonban, hogy ne vonja le a komplex számok megoldására differenciálegyenletek valós együtthatók segítségével Euler formula. függvények veszi részleges megoldások és.
Példa Példa. Hogy oldja meg a differenciálegyenlet. A karakterisztikus egyenlet a következő egyenletet. A gyökerek ebben az egyenletben (2-szeres) és komplex gyökerek. Ezért az általános megoldás formájában.
d) Komplex gyökerek sokfélesége. Abban az esetben, ha a karakterisztikus egyenletnek két komplex konjugált gyökerek multiplicitás, megfelelő ezeket a részleges megoldásokat megfelelő gyökerei a homogén differenciálegyenlet van formájában. és.
Példa Példa. Hogy oldja meg a differenciálegyenlet. A karakterisztikus egyenlet felírható a. Ezért, a gyökerek a karakterisztikus egyenlet (2-szeres) és a (2-szeres). Ezért, az általános megoldás a homogén differenciálegyenlet adott fog működni.
Az oldatot az inhomogén egyenlet. Azt már tudjuk, hogyan kell megtalálni egy általános megoldást a homogén egyenlet. Ahhoz, hogy megtalálja az általános megoldás az inhomogén egyenlet, meg kell találni egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet és add hozzá a már megtalált általános megoldás a megfelelő homogén egyenlet. Valóban, legyen az - az általános megoldás a homogén egyenlet. tartalmazó tetszőleges állandók. Ha megfelel az inhomogén egyenlet. a funkciója megfelel az azonos inhomogén egyenlet tartalmaz tetszőleges konstansok.
Így a probléma megtalálásának általános megoldást az inhomogén egyenlet csapódik le, hogy az a kérdés, hogy találnak egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet. Vannak különböző módszerek vonatkozik ilyen megoldásokat. Tekintsük a módszer variációs tetszőleges állandók, amely lehetővé teszi, hogy azonnal szerezzen egy általános megoldást az inhomogén egyenlet.
A lényege ennek a módszernek, hogy, melynek van egy homogén oldatot a megfelelő egyenlet formájában. keresünk egy általános megoldása az inhomogén egyenlet formájában, és válassza ki ezeket az ismeretlen funkciókat. hogy a funkciója megfelel az inhomogén egyenlet. Kiderült, hogy ez elég, hogy ezek a származékok ismeretlen függvények kielégítik a rendszert
Lássuk be ez a helyzet. Tegyük fel, hogy meg akarjuk oldani az egyenletet. Az oldatot a homogén egyenlet adja. és. Vegyük az általános megoldás az inhomogén egyenlet formájában, és helyettesíti a nem-homogén egyenletet. Van:
Kifejezések, amelyek multiplikátor és eltűnnek, így van:
Let. Figyelembe a származék mindkét oldalán az egyenlet, megkapjuk. Ezért, annak érdekében, hogy a funkció a megoldás az inhomogén egyenlet kerül.
Példa Példa. Hogy oldja meg a differenciálegyenlet. A karakterisztikus egyenlet a megfelelő homogén egyenlet formájában. Következésképpen, az általános megoldás a homogén egyenlet - funkciót. Ezért, az általános megoldás az inhomogén egyenlet kérik formájában. Ahhoz, hogy meghatározzuk az ismeretlen függvények rendszert alkotnak azok származékai
Csökkentve a egyenletet. kapunk egy rendszer egyik fő meghatározó értéke 1. megoldása a rendszer és integrálása,
. Az általános megoldás az eredeti egyenlet most írott formában. Megjegyezzük, hogy a önkényesség a konstans kifejezés helyébe a kifejezést. Ezért a megoldás felírható.