Tulajdonságok mátrixok valós elemek - studopediya
Nézzük a mátrix A = [aij] Aij elemeket, amelyek érvényesek; ilyen mátrixok nevezzük érvényes vagy valóságos.
Legyen A = [aij] - valós négyzetes mátrix n rend. Takkak annak karakterisztikus egyenlet
polinom valós együtthatók, a gyökerek # 955; 1. # 955; 2. # 955; n a karakterisztikus egyenlet képviselő sajátértékei A mátrix, abban az esetben, bonyolultságuk konjugált párokat, azaz ha .. # 955; s értéke sajátérték A mátrix, a konjugátum # 955; * S is sajátérték az A és az azonos sokfélesége.
Az aktuális mátrix lehet, hogy nem valós sajátértéke. Ugyanakkor egy fontos ügyben, ahol a pozitív mátrix elemei, garantáltan a létezését legalább egy valós sajátérték.
Perron tétel. Ha minden eleme egy négyzetes mátrix pozitív, akkor a legnagyobb abszolút értéke a saját, mint egy pozitív és egy egyszerű gyökér a karakterisztikus egyenlet a mátrix, és ez megfelel egy sajátvektor pozitív koordinátákat.
A sajátvektorok A mátrix aktív különböző sajátértékek általában, összetett és nem rendelkeznek a tulajdonsága ortogonalitás. Azonban, rajz sajátvektorok az átültetett mátrix „lehet kapott úgynevezett ortogonalitás kapcsolatok, hogy az esetben, ha a szimmetrikus mátrix egyenértékű hagyományos ortogonalitás kapcsolatok.
Tétel 4.1. Ha egy - a valós és a sajátértékek különbözőek, két bázisok j> j és> tér En. amelyek rendre a sajátvektorai a mátrix és a sajátvektorai a transzponált mátrix „a következő feltételeknek megfelelő biortonormirovki:
Bizonyítás. enged # 955; 1. # 955; 2. # 955; n - sajátértékei mátrix Mivel az A mátrix - valóságos, akkor, mint tudjuk, a saját értékeit - kapcsolt pár, azaz együtt saját érték .. # 955; j. konjugált # 955; j *; - is sajátérték a mátrix A. Legyen xj (j = 1, 2 n) megfelelő sajátvektorai A mátrix, vagyis a ..
Mivel a meghatározó nem változik az értéke helyett vonalak oszlopok, a
és így, az átültetett mátrix „ugyanaz a sajátértékek # 955; j. mint a mátrix A. Legyen xj (j = 1, 2 n) - sajátvektorai A mátrix”, amely megfelel a konjugátum sajátértékek # 955; j *, vagyis ..
A vektorok képezik az alapját En. Bázisok xj> és bi-nevezetesen:
Valóban, egyrészt, van:
Másrészt, figyelembe véve a lényegességi A mátrix, megkapjuk:
Következik (4.4) és (4.5) vezetjük le:
Tak, mint a # 955; J ≠ # 955; k j ≠ k, TOIZ ravenstva (4.6) magában foglalja, (4.3).
Megmutatjuk, hogy a vektorok xj> és normalizálni lehet, hogy
Tény, hogy a bővülő vektor xj alapján vektorok <>, van xj =.
Ezért, figyelembe véve a feltétele ortogonalitás (4.3), kapjuk:
Figyelembe helyett vektorok vektorok, megkapjuk a kívánt normalizálását (4.7), mint
Így, ha a sajátértékei valós mátrix különböző, dlyasobstvennogo alapján xj> matritsyA mindig megtalálja a megfelelő alapot ültetni matritsy, hogy
ahol # 948; jk - Kronecker.
Sledstvie.Esli mátrix - valós és szimmetrikus (A '= A), lehetőség van arra, hogy: x'j = xj (j = 1,2, ..., n), ahol xj - normalizált sajátvektorai a mátrix A.
Levezetjük több úgynevezett bilineáris bővítése a mátrix
Teorema 4.2. Legyen - szögletes valódi mátrix és
(J = 1,2, ..., n) - ee sobstvennye vektorok rassmatrivaemye mint mátrixok - oszlopok, és
(K = 1, 2,. N) - megfelelő cobcmvennye vekmopy mpancnonupovannoy A'matrix-szerű paccmatrivaemye smpoki mátrix npuchem vynolneny 6uopmonormirovki feltételek (4.8):
Aztán kapcsolatban
Bizonyítás. Tekintsük a mátrix
álló rendre oszlopok Xj (J = 1 n) és a sorok Xk „(k = l, ..., n). By (4.9) van:
ahol E - az identitás mátrix. Tak mint egy X mátrix álló lineárisan független oszlopok, hogy - van nonsingular, azaz DETA ≠ 0, és ezért, van egy inverz mátrixot X -1 ... Alapján (4.11), van:
Ebből következik, hogy
és így kapunk egy második arányt biorthogonality
Ezekkel a kapcsolatok, van:
Megszorozzuk az egyenletben a bal oldalon az A mátrix iuchityvaya hogy