Tétel hall, vagy egy tétel esküvők, matematika, hogy szeretem
Filip Holl (Philip Hall, 1904-1982) - angol matematikus, a munka nagy részét, amelyik a csoport elmélet és a kapcsolódó területeken algebra. Így az első terem tétel vonatkozik oldható csoportok. Hall tétel esküvőkön, ő bizonyult 1935-ben, ez az egyik alapvető kombinatorikus elveket. Talán a legfontosabb hozzájárulása a matematika - Hall-polinomok, amelyek fontos szerepet játszanak az elméleti csoport ábrázolások.
A probléma az esküvők köteles elvenni egyes lányok az egyik fiú. Minden lány (egy hosszú és kimerítő kételyek és viták) van egy lista a fiúk, hogy szereti. Azt is, hogy a feltételezés, hogy minden fiatal férfiak nemes ahhoz, hogy ne megtörni a lány szívét, aki őt választotta, az ő elutasítást. Így, míg a lányok a kezdeményezést, hogy kifejtsék preferenciák, a helyzet teljesen szimmetrikus, és a legjobb, van egy táblázat, amely nullák.
Felsoroljuk a számok a fiúk és lányok előtt. Nem lányok írja le a sorokat, fiúk szoba - oszlopok. Álló elemet az i-edik sor j-edik és oszlopában egyenlő akkor, ha a házasság között, egy lány, egy szám és egy esetleges fiúk száma, egyébként. Néha egy lány férjhez, és néha elvenni az összes lehetetlen.
Itt egy példa az ilyen asztal. Hagyja, fiú és négy lány is, négy. Legyen az első lány, mint az első és a harmadik fiatalember, a második - az első és a második, a harmadik - a második, a harmadik és a negyedik, a negyedik - az első és a negyedik.
1234 \\
\ hline
11010 \\
21100 \\
30111 \\
41001
\ End "title =" \ begin
1234 \\
\ hline
11010 \\
21100 \\
30111 \\
41001
\ End "style =" vertical-align: -52px; border: none; „/>
Ebben az esetben lehetőség van arra, hogy feleségül a fiúk és lányok ugyanazokkal a számokkal.
A szükséges és elégséges ahhoz, hogy az összes hozzámegyek, formulázhatjuk több egyenértékű módon:
1. Minden lány szeret legalább fiúk.
Vegyünk egyetlen sort sem. Azt látjuk, hogy az oszlopokat, amelyek legalább egy, a kijelölt sorban. Ezek száma az oszlopok nem lehet kevesebb, mint.
2. Minden fiatalember élvezni legalább a lányok.
Vegyük azokat az oszlopokat. Keresse meg a sort, amely legalább egy, a kiválasztott oszlopok. A számos ilyen sorokat nem lehet kevesebb, mint.
3. A táblázat nem tartalmazza subtables álló összes nullák sorok és oszlopok, hogy.
Ha ilyen tábla van, a nők egy része köthet házasságot csak a fiúk ezen kívül az al-táblázatok. Mivel a fiatal férfiak túl kevés elvenni a lányok.
Hall tétel. Feltételek 1, 2, 3 szükséges és elégséges ahhoz, hogy elvenni az összes.
Bizonyítás. A szükségesség nyilvánvaló.
Önellátás bizonyítani indukció. Abban az esetben, ha csak egy pár, és a kölcsönös szimpátia, egy formalitás szükséges, hogy gondoskodjon a házasság. Most tegyük fel, hogy a tétel igaz az összes olyan, hogy. Abban az esetben, lányok és fiúk lehet, hogy minden () a lányok, mint a legtöbb fiatalember, és lehet, hogy tetszik nekik, még a fiúk. Az első esetben, az első lány feleségül bármely ember, aki szeret, majd a feltétele a tétel kerül sor, mint korábban, de ezúttal a lányok és a fiúk. Valóban, tegyük fel, hogy minden lány szereti, mint a fiúk. Az egyik ilyen fiatal férfi lehetett az, aki feleségül vette az első lány. De enélkül még mindig legalább a fiúk, akik szeretik a lányok. Így, miután a házasság minden pár fiú és lány, amelyre a feltétele a tétel még mindig. Az indukciós feltevés szerint, minden, amit feleségül.
A második esetben, vannak lányok, akik szeretik a fiúk pontosan. Az indukciós feltevés szerint, meg tudjuk elvenni ezek a lányok a fiúk szeretik. A trükk az, hogy megmutassa, hogy a többi lány is lehet házas, a fennmaradó fiúk. Tekintsünk a többi lány. házas lányok plusz ezek a lányok, hogy tetszik, legalább a fiatal férfiak, a hipotézist. Mivel a férjes asszony nem olyan, mint a többi fiú, kivéve azokat, akikkel házasok, a lányok, hogy tetszik a másik fiatal ember, nem azon, hogy házas. Így a többi lány is házas házas fiúk, valamint az állapotuk tétel. Így minden akkor feleségül.
A probléma az esküvőket is képviseli a grafikonon. Ez páros gráf (a csúcsok bontható két úgy, hogy a bordák csak csatlakozni csúcsai különböző készletek). Lányok lesz az első helyen egy készlet, fiúk - a másik, az élek csatlakoztassa csomópontok megfelelő fiúk és lányok, akik szeretik egymást. Most felhívni helyett a táblázat elején, gróf: