Számítása statikus pillanatok és a koordinátákat a súlypont az anyag a görbe
Statikus pillanatban tengelyéhez képest pont az a termék a tömeges pont a parttól egy egyenes vonal.
Vegyünk egy sík görbe, melynek sűrűsége egyenlő. mivel görbe tömege azonos hosszúságú, megtaláljuk a statikus nyomaték görbe tengelyéhez viszonyítva.
Hagyja, hogy a görbe a következő egyenlet adja. Képzeljünk el egy pontot a görbe és a görbe a kivágott rész elemi hosszúságú. tartalmazó pont. Ha feltételezzük, a tömeg rész egyenlő. koncentrálódik a ponton. az elemi pont, azaz az alacsony statikus nyomatékgörbe tengelyhez képest a tag. Ezután a statikus pillanat az egész képest a tengelye a görbe. Ez a képlet.
kiszámításának képlete A statikus nyomaték görbe tengelyéhez képest hasonlóan kimeneten. .
Definíció. A tömegközéppont a görbe - ez az a pont, hogy ha van koncentrálni a teljes tömege a görbe, a statikus pillanat képest egy tengely körül, amely nem metszi a görbe, egyenlő lesz a statikus pillanatban a teljes görbe.
Így jutunk formulákat találni a súlypont a homogén koordináta görbe.
Ha a görbe az alábbi egyenlet adja kifejezetten. görbe koordinátái tömegközéppont által adott
1. példa: megtalálni a statikus pillanata félkörben körülbelül az átmérője.
Rendezzük egy félkört úgy, hogy annak átmérője a tengelyen. és a központ az origó.
Egyenletben a felső félkör. Találunk a jelentősége a radicand a képletet a statisztikai pillanatban. Behelyettesítve a képletben, megkapjuk a választ.
2. példa: Keresse meg a statikus pillanat tengelyéhez viszonyítva az ív és a koordinátákat a súlypont a astroid található az első negyedévben.
Írunk paraméteres egyenletek astroid
A kiszámításának képlete A statikus pillanat, amikor a görbe adja paraméteres egyenletek.
Kiszámoljuk a radicand
Behelyettesítve képlet, azt találjuk, hogy az érték a statikus pillanat
Találunk a koordinátákat a súlypont görbe.
Mivel a szimmetria. Találunk az ordináta a súlypontja formula
Statikus pillanatokat és a koordinátákat a súlypont síkidomok
Azt az esetet, amikor a forma egyenletes, azaz a sűrűség minden ponton megegyezik 1. Legyen ez a szám egy görbe vonalú trapéz, korlátos fenti grafikonon a funkciót. Mi megkülönböztetni elemi végtelenül keskeny függőleges csík. Elfogadásával ezt csík megközelítően téglalap, megtalálja a tömege megegyezik a területen. Annak meghatározására, hogy a megfelelő elemi pontok feltételezik szalag teljes tömege koncentrálódik a súlypontja, vagyis a középső a téglalap. Az így kapott anyagot pontja bizonyos távolságban a tengelyt egy távolságot. bizonyos távolságra a tengelyt. hogy nagyjából egyforma. Mivel elemi pillanatok és. Ezért megkapjuk az általános képletű
koordinálja a súlypontja egységes görbe vonalú trapéz által meghatározott képletek.
Abban az esetben explicit meghatározása a függvény egyenlete. van
Példa 3. Keresse meg a statikus pillanat a tengelyhez képest, és a súlypont koordinátáit az ábrán határolt tengely és egy ciklois ív.
Írunk a paraméteres egyenleteket a ciklois
Behelyettesítve ezen egyenletek a képlet a számítás a statikus pillanat tengelyéhez képest a számok:
Találunk a koordinátákat a súlypont az ábra. Ettől. egy alak szimmetrikus egy egyenes vonal. Ezért az abszcissza a súlypontja. Az ordináta a súlypont a következő képlettel.
Kiszámítjuk a terület az ábrán
Tekintettel arra, hogy a megfelelő statikus pillanat számít, meg ordináta a súlypontja. Így a súlypont a szám a lényeg.
Ez az első alkalom ezen tételek talált alexandriai matematikus Pappus az ie 3. században
A középkorban sok eredményeit ősi tudomány elveszett Európában. A 17. században tétel újra svájci matematikus Guldin.
Az első tétel a Pappus-Guldin. A felület által kialakított forgó görbe tengelye körül nem metszi egymást, ez egyenlő a termék a görbe hossza az útnak a súlypont a görbe.
Abban az esetben, forgási tengely körül Tétel képlete
Bizonyítás. Vegyük azt az esetet egy sík görbe, ha azt kifejezetten az alábbi egyenlet adja. Az ordináta a görbe a súlypontja a képlet. Behelyettesítve képlet megtalálása és megszorozzuk a terhelési nyomaték megegyezik a hossza a görbe. kap
Majd szorozzuk mindkét oldalát:
A jobb oldalon ez az egyenlőség a testfelület, által alkotott forgás tengelye körül a görbe.
A bal oldali a termék hossza a görbe a kör hossza. amely leírja a súlypont. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Példa 1. Keresse meg a koordinátákat a súlypontja félkörben sugár közepén a koordináta származási található a felső felében.
Szimmetria, az abszcissza a súlypontja. Találunk az ordináta a súlypont, hogy az első tétel a Pappus-Guldin. A felület által alkotott tengely körül forgatva a görbe. Ez egy gömb, a terület. Hossza a görbe egyenlő a kerület fele. Behelyettesítve ezeket az értékeket a Eq. megtalálni az ordináta a súlypontja.
2. példa Find a felülete a félkör körüli elfordulás az érintő párhuzamos az átmérőjével.
Ezután a kör sugara által leírt súlypontja körüli forgatáskor a félkört érintőleges egyenlő. Az első tétel Papp-Guldin van formula. Ennélfogva, a szükséges felület
A második tétel a Pappus-Guldin. Kötet kialakított test forgatásával síkidom saját tengelye körül nem metszik egymást, egyenlő a termék a négyzet alakú a útnak a súlypont az ábra. Abban az esetben, forgási tengely körül Tétel képlete
Bizonyítás. Vegyük azt az esetet egy sík görbe, ha azt kifejezetten az alábbi egyenlet adja. Az ábra szerinti grafikon a görbe egy ívelt trapéz. Az ordináta a súlypontja síkidom a képlet. Képlet alkalmazásával a számítás a statikus pillanat. Kapunk. Szorozzuk száma mindkét oldalán ez az egyenlet:
A jobb oldalon a térfogata az így kapott szilárd tengelye körül forogva a görbe. A bal oldali rész a termék a négyzet alakú darabot a hossza által leírt kört a súlypont az ábra.
Példa 3. Keresse meg a koordinátákat a súlypontja félkörben R sugarú központ a származási található, a felső felét.
Mi csak a második tétel a Pappus-Guldin. Ha forog a tengelye képez félkör labdát. A kötet a labda egyenlő. félkört terület. Behelyettesítve ezeket az értékeket a Eq. Találunk.