Spline - interpoláció
Az utóbbi években intenzíven fejlődő új ága a modern számítógépes matematika - az elmélet bordák. Splines hatékonyan megoldani a problémát a feldolgozás kísérleti függőségeket a paraméterek között, amelynek meglehetősen bonyolult szerkezet.
A fenti helyi interpolációs módszerek lényegében a legegyszerűbb spline az első fokú (lineáris interpoláció) és a második fokozat (másodfokú interpoláció).
A legkiterjedtebb gyakorlati használatra, mivel az az egyszerűség, talált köbös spline. A alapgondolata az elmélet a köbös spline kialakítva kísérletek eredményeként matematikailag leírni a rugalmas lécek a rugalmas anyag (mechanikai spline), amely már régóta használják a fogalmazók azokban az esetekben, ahol nem volt szükség a alapérték kellően sima görbe. Köztudott, hogy a rake egy rugalmas anyag, fix bizonyos pontokon, és amely az egyensúlyi helyzet, elfogadja a forma, amelyben az energia minimális. Ez az alapvető tulajdonság lehetővé teszi a hatékony felhasználását spline gyakorlati problémák megoldására a kísérleti adatok feldolgozása.
Általánosságban, egy függvény y = f (x) van szükség, hogy megtalálja egy közelítés y = S (x) tehát chtobyf (xi) = S (xi) a pontok x = xi. egy a másik pont a szegmens [a; b] függvények értékeit az f (x) és az S (x) közel voltak egymáshoz. Egy kis adatpontok száma, hogy megoldja a problémát interpolációs, akkor az egyik módszer építésére interpolációs polinomok. Azonban a nagy csomópontok száma interpolációs polinomok vált gyakorlatilag használhatatlan. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a polinom foka interpoláció csak egy kisebb, mint a számos kísérleti függvények értékét. Lehetőség van, természetesen, a szegmens, amelyben a funkció határozza meg, részekre osztva, amely tartalmaz egy kis számú adatpontot, és ezek mindegyikére építésére interpolációs polinomok. Azonban, ebben az esetben, a közelítő függvény lesz a pont, ahol a származék nem folytonos, azaz. E. A funkció grafikon tartalmaz kifejezések „megtörés”.
Cubic spline azzal a hátránnyal. Tanulmányok kimutatták, hogy a hajlékony, vékony vonal két csomópont között is jól leírták egy harmadfokú polinom, és mivel ez nem pusztult el, a közelítés funkciót kell legalább folytonosan differenciálható.
Így, spline - jellemző, hogy minden egyes részleges szegmens egy algebrai polinom-interpoláció, és a teljes, előre meghatározott hosszúságú folyamatos több származékai.
Legyen az interpolált függvény F (x) által adott értékek yi. a csomópontok xi,
(I = 0, 1 n). Jelöljük a hossza a részleges szegmens [xi-1; xi], mint egy hi = xi -xi-1.
(I = 1, 2 N). Arra törekszünk, egy spline szegmensek minden egyes izchastichnyh [xi-1, xi] formájában:
ahol - a négy ismeretlen együtthatók. Be tudjuk bizonyítani, hogy a problémát találni egy spline egyedülálló megoldás.
Egybeesni a S (x) értékeket a csomópontokat az táblázatos függvény értékei f (x):
Ezek száma egyenletek (2n) kétszer kisebb, mint az ismeretlenek száma együtthatók. Annak érdekében, hogy a további feltételek, akkor is szükség van a folyamatos első és második származékok spline minden pontján, beleértve a csomópontokat. Ahhoz, hogy ezt meg kell egyenlővé a bal és a jobb származékok S '(x-0), S' (x + 0), S "(x-0), S" (x + 0) egy belső csomópont xi.
Számítsuk kifejezések a származékok S „(x), S„(x) egymást követő differenciálódás (1.3.4-1):
megtalálni a jobb és a bal-származékok a csomópont: