Interpoláció funkciók - interpolációs spline

Interpoláció funkciók - Spline interpoláció

Lagrange interpolációs képlet, Newton és Stirling et al. A nagyszámú interpolációs pontokat, az [a. b] gyakran vezet a rossz közelítése a felhalmozási számítási hibákat folyamatban [2]. Továbbá, mivel az eltérés az interpolációs eljárás növeli a csomópontok száma nem feltétlenül vezet nagyobb pontosságát. Hibák csökkentése egész szegmens [a. b] oszlik részleges szegmensek, és mindegyik kb funktsiyuzamenyayut alacsony fokú polinommal. Ezt nevezik a szakaszonként polinom-interpoláció.

Ennek egyik módja az interpoláció az egész intervallum [a. b] egy spline interpoláció.

Spline egy szakaszonként polinomiális függvény definiált naotrezke [a. b], és ebben a szegmensben számos folyamatos származékok. Előnyök Spline interpoláció, összehasonlítva hagyományos interpolációs technikák - a konvergencia és stabilitás a számítási folyamatot.

Vegyük az egyik legelterjedtebb gyakorlat azokban az esetekben - Interpoláló köbös spline függvény.
Hagyja, hogy a intervallum [a. b] egy folytonos függvény. Bemutatunk egy partíció az intervallum:

Spline megfelelő ezt a funkciót, az interpolációs csomópontok (6) egy függvény kielégíti a következő feltételeket:

1) minden intervallumban, a függvény egy harmadfokú polinom;

2) a funkció és az első és második származékok folyamatos intervallumon [a. b];

A harmadik feltétel az úgynevezett állapot interpoláció. Spline meghatározott feltételek 1) - 3), az úgynevezett egy spline interpoláció.

Nézzük egy eljárást egy spline [2].

Minden intervallumban törekszünk a spline függvény egy többtagú a harmadik fokozat:

ha az előírt együtthatók.

Differenciálás (7) háromszor x:

A feltétel interpolációs 3) kapjuk:

Ezen kívül azt feltételezzük.

A folytonosság körülmények függvényében az alábbiak szerint:

Ezért figyelembe véve (7) -be:

Oboznachivi kihagyva közbenső számítások [2], végül kapunk egyenletrendszert együtthatók:

Azáltal tridiagonális mátrix együtthatók rendszer (9) van egy egyedi megoldást [2]. Megtalálása tényezők. a maradék együtthatókat határozza meg explicit formulák:

Így tehát már csak egy spline, megfelelő körülmények között 1) ​​- 3).