rövid elmélet
Azáltal egyszerű integrálható típusú másodrendű differenciálegyenletek egyenletek, amelyek esetében a funkció a jobb oldalon általános képletű (12,32), vagy csak attól függ, x. vagy csak y. vagy csak az y '
azaz egyenletek formájában:
Az általános egyenlet megoldása (12,37) kettős integráció.
Egyenlet (12,38) van integrálva stádium
amely lehetővé teszi, hogy csökkentsék azt, hogy egy egyenlet elkülöníthető változók y és p:
Az utolsó egyenlet határozza meg o. és az y „= p - közös integrált F (x, y, C1, C2) = 0.
Egyenlet (12,39) szubsztituáló (12,40) csökkenti, hogy egy egyenletet elkülöníthető változók X és p:
Egyes esetekben, a másodrendű differenciálegyenlet lehet csökkenteni egyenletek az elsőrendű.
szubsztituáló (12.40) csökkenti egyenlet
ismeretlen függvény p.
ugyanez a helyettesítés csökkenti egyenlet
ahol az ismeretlen változó szerepe.
1. integrálása az y '' = cos x.
Azóta. dy „= cos xdx,
Integrálása még egyszer, kapjuk:
2. Keresse meg az általános megoldás az y '= 2y”.
A jobb oldalon az egyenlet csak attól függ, y”. Ez az egyenlet a forma (12,39).
Elhelyezés y „= p. találunk:
3. Integrálja az egyenlet
Ez az egyenlet a forma (12,41), mivel nyilvánvalóan nem tartalmazza a szükséges funkciót y.
Legyen y „= p. majd
és az egyenlet formájában, vagy (1 + x 2) DP-2xp dx = 0.
Elválasztó változók, megkapjuk
Azóta, és ezért, az általános megoldás képletnek felel
Megjegyzés. Elválasztó változók, azt feltételeztük, hogy p ≠ 0,
1 + x 2 ≠ 0. megoldások tehát elveszítheti p = 0. 1 + x 2 = 0.
Az első egyenlőség azt jelenti, hogy az y „= 0 és y = C A funkció y = C a megoldást az eredeti egyenlet, amely közvetlenül meghatározható.
Ezeket a megoldásokat kapunk az általános megoldás, amikor a C 1 = 0. A második egyenlőség lehetetlen valós x. nem határozza meg, hogy a funkció a megoldás ennek az egyenletnek.
4. integrálása az egyenlet yy '' - Y „2 = 0.
Ez az egyenlet a forma (12), mivel nem kifejezetten tartalmazza az érvelés x.
Legyen y „= p. majd
Behelyettesítve a kifejezéseket y „és y” „az eredeti egyenlet, megkapjuk
elsőrendű egyenletet elkülöníthető változók y és p:
Elválasztó változók, megkapjuk
Mivel p = y”. akkor. Integrálása az egyenletből, megkapjuk
Megjegyzés. Solutions y = 0, Y = C (Y „= 0) kapunk az általános megoldás, sorrendben, C2 = 0, C1 = 0.
Integrálása a másodrendű differenciálegyenlet: