Rational frakciókat - studopediya
Ha P (z) és Q (z) - polinomok a komplex domain, akkor - a racionális frakciót. Ezt hívják a jobb oldalon. fokozat: ha a P (z) A-nél kisebb fokú Q (z). és rossz. ha a mértéke P nem kisebb, mint a Q. Bármilyen Áltört felírható :. ahol P (z) = Q (z) S (Z) + R (Z), egy R (Z) - polinom, amelynek mértéke kisebb, mint a Q (z). Így, az integráció a racionális frakciók polinomok csökkenti az integráció, azaz teljesítmény függvényt, és megfelelő frakciók, mint a megfelelő frakciót.
Lemma 1. Ha - a megfelelő racionális frakciót és z0 - a gyökér a nevező sokfélesége k. azaz akkor létezik egy számot az A és a polinom P1 (Z), például, hogy
ahol az utolsó kifejezés a megfelelő frakcióból.
. Ebben az esetben az utolsó tag a megfelelő frakcióból. Úgy döntünk, úgy hogy z0 volt gyökere P (z) - AQ1 (z). azaz. Majd Bezout tétel. A bizonyítás befejeződött.
Megjegyzés. Ha az együtthatók polinomok P és Q és a kiválasztott gyökér nevező - valós számok, majd az együtthatók a polinomok P1 és Q1 - szintén a valós számok.
Tétel 8.3. Ha - és a megfelelő racionális szám. Aztán ott vannak a komplex számok, hogy
Alkalmazása Lemma 1 k1-szer egy töredéke. kapjuk:
hol. Majd alkalmazása ugyanazt lemmát a fennmaradó gyökerei a nevező, megkapjuk az (8.5).
2. Lemma Legyen P (x) és Q (X) - polinomok valós együtthatójú, ahol Q (x) = (x ² + px + q) m Q1 (X), ahol p ² - 4q <0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1 (х), что
ahol az utolsó távon is megfelelő frakcióból.
ahol az utolsó kifejezés a megfelelő frakcióból. Mi választjuk B és C olyan, hogy a szám Z0 = x0 + iy0 (gyökere Z ² + PZ + q) volt gyökere P (x) - (bx + C) Q1 (X). Meg lehet mutatni, hogy ebben az esetben, ha.
Ennélfogva, B és C - valós számok, és Z0 (száma komplex konjugált z0) - gyökerei a polinom P (x) - (bx + C) Q1 (X). Majd Bezout tétele, ez oszlik
. Ezért a legújabb lövés a egyenlet (8,7) csökkenteni lehet x ² + px + q és kapjuk (8,6).
Ezzel a lemma, be tudjuk bizonyítani a következő tétel:
Tétel 8.4. Ha - a megfelelő racionális frakció, és
ahol léteznek valós számok
1. Az így kapott frakciót kell egybeesik az eredeti minden x. így, az együtthatók azonos hatáskörét x a számláló a két frakció egyenlőnek kell lennie. Itt van. vagyis az A = 1, B = -1. Következésképpen, a kezdeti frakció, amelynek nevező csak valós gyökei (és egyszerű, hogy van, a multiplicitás 1) lehet ábrázolni, mint :.
Egyenlővé együtthatók erőkkel x a számlálóban, megkapjuk:
. ahol A = 1, B = 3, C = 3, D = 5. Így, ez a frakció, amelynek nevező az igazi gyökere x = 0 és 2 multiplicitás komplex konjugált gyökerek átalakítani, hogy az összege frakciók:
Előadás 9. Integrációs egyszerű és önkényes megfelelő frakciókat. Integrálása tetszőleges racionális függvények. Integrálása lineáris-frakcionált irracionális.
A vulgáris előadás kimutatták, hogy kijavítsa a racionális frakció képviselt lineáris kombinációjával frakcióinak formájában:
1). 2). 3). 4). (9.1)
Ezeket a frakciókat nevezzük egyszerű (vagy elemi) frakciók. Engedje meg, hogy hogyan vannak integrálva.
Azt, hogy a változás és írni. Akkor szeretnénk számítani az integrál
4) használja ugyanazt a cseréje Ha integráló részleges frakciók Az utóbbi típusú, mint az előző esetben, és képviseli az integrandus formájában:
amely külön vizsgálom módja beilleszkedés.
Így a rekurziós képlet kapott, lehetővé téve végső soron csökkenti a kiszámítása ez szerves része a
Így a szerves bármilyen egyszerű frakció kifejezetten és egy elemi függvény.
Tétel 9.1. A határozatlan integrál bármely ésszerű frakciót bármely intervallumot, amelyben a nevező nem nulla létezik fejezzük elemi függvények, nevezetesen a racionális frakciók, valamint az arkusz tangens a logaritmus.
Képviseli racionális szám (lásd az előadás 8.). Ebben az esetben az utolsó kifejezés egy megfelelő frakciót, és a tétel 8,4 leírható mint egy lineáris kombinációja részleges frakciók. Így, az integráció csökken racionális frakciót integrációs polinom S (x) és a részleges frakciók, a primitívek, amelyekről kimutatták, hogy a megadott formában a tétel.
Megjegyzés. A fő nehézség ebben az esetben a bomlás a nevező faktorizációhoz azaz keresve a gyökerei.
Integrálása lineáris-frakcionált irracionális.
Korábban bizonyult az következik, hogy minden racionális frakció lehet építeni, ezért vállalja a feladatot integrálása a funkció további végrehajtását, ha ez lehetséges, hogy ez a funkció formájában racionális szám. Különösen a integrálját formájában. ahol R - racionális függvény (polinomiális vagy racionális frakció), r1, ..., rn - frakciókat ugyanazzal a nevező m. a. csere vezet. Így, x egy racionális függvény t, következésképpen a származék lesz racionális függvény is. Továbbá - szintén racionális funkciója t (mivel pi - egész szám). Ezért, cseréje után integrandust válik R1 (t) dt. ahol R1 - racionális függvény integrálható fent leírt eljárások.
Megjegyzés. Ilyen helyettesítéseket lehet integrálni funkció típus. és különösen,
1. Azt, hogy a változás. akkor. a. ezért
2. Ettől. a. választani, mint egy új változót. Aztán. ezért
Előadás 10. integrálása racionális trigonometrikus kifejezések. Integrálása másodfokú ésszerűtlenségekkel. Integrálhatóság az elemi függvények.
Mérlegeli bizonyos trigonometrikus kifejezések.
1. integrálok fajok képlet segítségével lehet kiszámítani (10.1) Ex.
2. integrálok az űrlapot. ahol m és n - egész számok integrált szubsztitúciók útján: a) ha legalább az egyik szám m, n - páratlan (például, t), akkor cserélje t = sin x (vagy t = cos x páratlan n). 1. példa 2. példa b) ahol m és n - pozitív páros szám, akkor lehetséges, hogy csökkentsék a mértékét a trigonometrikus függvények felhasználásával képletek. Példa. c) ha m és n - is, és legalább az egyik közülük negatív, akkor lehet alkalmazni a szubsztitúció t = tg x és t = CTG x. Példa.
3. Az integrálok az űrlap, ahol R - egy racionális függvény csökken integrálok racionális függvények segítségével egy univerzális trigonometrikus helyettesítés :. akkor. (10.2), amely, minden összetevője az integrandus egy racionális függvény a t. Példa. Ha az integrandus az űrlap R (sin²x, cos²x), akkor válassza ki a csere t = tg x. Ugyanakkor. (10.3) és a mértéke a racionális függvény kapott alacsonyabb lesz, mint az univerzális trigonometrikus szubsztitúció, amely megkönnyíti a további integrációt. Példa.
Integrálása másodfokú ésszerűtlenségekkel.
Kiszámításánál a integrálok csökkenti az integrandus egy racionális segítséget helyettesíti:
a) ahol dx = acos t dt ,.
1. példa Számoljuk az integrálási időt
. Ezért a válasz felírható:
2. példa Annak értékelésére szerves helyettesítő válassza ki az x = 3TG t. Ebben az esetben,
. ahol u = sin t. Bemutatjuk az integrandus összegeként részleges frakciók, megkapjuk:
3. példa kiszámítja a szerves keresztül csere. majd
Integrálhatóság az elemi függvények.
A korábbi előadások, a módszerek integrációját néhány elemi funkciókat. Azonban nem minden elemi integrálható függvények, azaz a primitívek is elemi funkciót. Példaként és egyéb funkciók. Ez a művelet abban különbözik az integráció a differenciálódás, amelyben a származék olyan elemi függvény is egy elemi függvény. Ahhoz, hogy megtalálja a integrálok a funkciója, mely nincs elemi primitív, bemutatjuk és használják az új műveleti osztályok, amelyek nem elemi.
Vezető problémák a koncepció egy határozott integrál. Határozott integrál és tulajdonságai. Középérték tétel határozott integrál.
Hogy oldja meg a sok probléma a különböző területeken a tudomány és a technológia használatát igényli a határozott integrál. Ezek közé tartozik a számítás a területek, ív hossza,
kötet, a munka sebességét, útvonal, a tehetetlenségi nyomaték, stb Mi határozza meg ezt a fogalmat.
finomság úgynevezett particionálás.
Tegyük fel, hogy az [a, b] kap egy függvény y = f (x). Válasszunk Minden szegmens esetében bomláspontja # 958; i és a forma az összeg az űrlapot
nevezett szerves összege az f (x). Ha f (x)> 0, ez az összeg egyenlő az összegével területek téglalapok bázisokkal # 916; xi magasságok és F (# 958; i).
Definíció 11.1. Ha bármelyik partíció szegmens [a, b], van egy és ugyanazon a végén határa szerves összegek és amikor:
az f (x) nevezzük integrálható a [a, b], és a megfelelő számú I úgynevezett specifikus integralomf (x) az [a, b] és jelöli a és b számok nevezzük az alsó és a felső határértékek az integráció.
Ezen túlmenően, a meghatározása a határozott integrál egészíti ki az alábbi állítások:
Tétel 11.1 (szükséges feltétele integrálhatóság). Ha a funkció integrálható intervallumon, akkor korlátos rajta.
Bizonyítás. Legyen f (x) integrálható az [a, b] és. Fix egyes # 949;, például # 949; = 1. A meghatározás szerint van egy 11.1 # 948;> 0, hogy bármely szerves összegek # 963; # 964;. megfelelő partíciót, amelyre | # 964; | <δ, верно неравенство | στ – I | <1, откуда I – 1 <στ
Feltételezve, hogy az f (x) nem korlátos az [a, b], akkor korlátos legalább az egyik partíció szegmensek. Ezután a terméket az f (# 958; i) # 916; xi vehet tetszőlegesen nagy értékek ebben az intervallumban, azaz az integrál összeg korlátlan, ami ellentmond a feltételnek integrálhatóság az f (x).
Megjegyzés. Az a feltétel, korlátozott funkció szükséges, de nem elégséges feltétele a integrálhatóság. Példaként úgy a Dirichlet funkció
f (x) = 1, ha X jelentése racionális, és az f (x) = 0, ha x irracionális. Ahhoz, hogy azt bármilyen intervallumban [a, b] és bármely partíció minden egyes szegmens # 916; xi vannak mind a racionális és irracionális x értékei. kiválasztása a # 958; i racionális számokat, melyre f (# 958; i) = 1, azt kapjuk, hogy = b - a. Ha feltételezzük, hogy # 958; i - irracionális számok, m = 0. Ezért, a határ az integrál összeg nem létezik, és a Dirichlet funkció nem integrálható semmilyen szegmensben.