Miután koordináták cofactors
Tegyük fel, hogy az euklideszi n-dimenziós térben kapnak egy bizonyos alapot. Bővítjük alapján vektorok:
ahol a koordináta-oszlop vektorok vektorok alapján ().
Fejezzük skalár szorzata a koordinátákat a tényezők:
ahol jelezzük. Az utolsó egyenlőség átírható mátrix formában
Definíció 3.4. A mátrix (3.6) nevezik a sorrendben a Gram mátrixa alapján vektorok a rendszer.
Megjegyzés 3.3. Gram mátrix lehet építeni, általánosságban elmondható, hogy bármely tetszőleges rendszer vektorok az euklideszi térben. Ebben az esetben, megkapjuk a mátrix a rend:
Megfogalmazzuk a legegyszerűbb tulajdonságait Gram mátrix.
Tétel 3.3. Gram mátrix szimmetrikus ().
# 9633; állítás következik axiómája az euklideszi térben :. # 9632;
Tétel 3.4 (kritérium Gram lineáris függését vektorok). vektor rendszer lineárisan függ, ha, és csak akkor, ha a meghatározója a Gram mátrixa ez a rendszer nulla.
# 9633; Szükségszerűség. Hagyja, hogy a rendszer vektorok lineárisan függ. Aztán ott vannak a számok. amelyek között van legalább egy nem nulla úgy, hogy
Megszorozzuk az utolsó egyenlőség egymást a vektor által. kapunk egy homogén rendszer, amely egyenletek:
Meghatározója ez a rendszer a meghatározója a Gram mátrix rendszer vektorok. Mivel ez a rendszer egy triviális megoldás
a meghatározója a Gram mátrixa ez a rendszer nulla.
Az önellátás bizonyítja vezető érvek fordított sorrendben. # 9632;
3.5 Tétel (a változás a Gram mátrixának átmenet egy másik alapon). Hagyjuk meg az euklideszi térben bázisok
A kapcsolat a Gram mátrixok ezen bázisok által leírt egyenlettel
ahol az átmeneti mátrix a bázis a bázis.
A bizonyíték van felépítve használata (3.5) képletű és a koordináta transzformáció a átmenet a bázis a bázis.
Példa 3.1. A lineáris tér egy belső terméket meghatározott bázisok és:
Vedd Gram mátrixok bázisok és. megvalósíthatóságának vizsgálatához (3.8).
Határozat. Mi alkotják a Gram mátrixok bázisok és. Kiszámítjuk elemek
Ezek a mátrixok. van
Az eredmény egy mátrix
Ez könnyen érvényességének ellenőrzése (3.8), ami a mi esetünkben is. ahol