Konvex halmazok és tulajdonságaik - studopediya
Set - konvex, ha bármely két pont minden tartozik az alapérték a szegmens összekötő pont a térben egy ponttal. Megjegyezzük, hogy a szegmens, amely pont. paraméterezhető a következők: Aztán, amikor megkapja a pontokat. amikor - a pont. és amikor - a közbenső pontok a szegmens, hogy a szegmens kijelölése pontot egyeztetett annak összes szimbólumok.
Az alábbi ábrán két gépen látható. egy konvex, a másik pedig nem.
A kidudorodást a térben vannak, például több, mint: a teljes teret. annak pozitív és nem negatív oktáns oktáns. minden labdát, mint nyitva. és zárt. bármely hipersíkot (adott egyenlet formájában., valamint a nyitott és zárt félig emelt, illetve és a feltételeket.
Tétel 1. Ha az összes szett család domború, domború és kereszteződés
Bizonyítás. Hagyja, hogy a pontok és tartoznak; Aztán mindketten tartoznak az egyes készletek. Tehát, ha - egy tetszőleges pont a szegmens, és az összekötő. tartozik. mivel konvex. De mint minden. akkor. QED.
Ez a tétel magában foglalja, például, hogy a vonal a n-dimenziós tér (ez lehet beállítani, mint egy vektor egyenlet. Amennyiben - rögzített vektorok, és a - beállítás, valamint a formában a metszési hipersíkokat) egy konvex halmaz. Sőt, egyes hipers'ıkot - konvex.
Definíció: Function. meghatározott intervallumon. úgynevezett domború (vagy konvex lefelé) ezen időtartam, ha az összes, és a egyenlőtlenség
és konkáv (vagy konvex oldallal felfelé), ha a egyenlőtlenség
(Azaz, a konkáv függvény, ha, és csak akkor, ha a függvény konvex.)
A bal oldalon az e egyenlőtlenség kell működnie értéke a származék pont
és az intervallum között (az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy), és a jobb oldalon - az érték a lineáris függvény. úgymint
Ha. egyenlőtlenség, ami azt jelenti, konvexitás. Kiderült ebbe:
Most, hogy a meghatározás a konvex sok változó függvénye.
Let Opredelenie1 - konvex halmaz, amelyen a funkciót. A funkció nevezzük konvex (vagy konvex lefelé) a forgatáson. ha bármely két pont a funkciót. szolgáló korlát függvényeket az összekötő szakasz a pontokat, és. konvex (lefelé) függvényében egy változó (itt, mint fent).
A funkció az úgynevezett konkáv (vagy konvex oldalával felfelé). ha a konkáv függvény.
Így a konkáv függvény, ha, és csak akkor, ha a függvény konvex.
A konvexitási funkció azt jelenti, hogy minden szegmensben a végei és parametrizálását ezen intervallum, mint a kompozíció készletek. konvex paraméter függvényében. Tekintettel a dudor régióban. bármely pontja és hazugság az intervallumban. és újra meg lehet venni, mint a végpontokat. Ezért a domborulata a funkciót a szükséges és elégséges, hogy az egyenlőtlenség
Ez igaz minden, és.
Ha ebben az esetben egyáltalán, és a szigorú egyenlőtlenség
akkor azt mondjuk, hogy a függvény szigorúan konvex.
Végül, a funkció az úgynevezett szigorúan konkáv. ha a funkció szigorúan konvex; ez azt jelenti, hogy a szigorú egyenlőtlenség
Geometriailag (abban az esetben) a szigorú konvexitás azt jelenti, hogy bármely akkord az ív által generált grafika az ugyanabból a célból, hogy az akkord fekvő függőleges metszetben átmenő húrt a húrt alatt helyezkedik el az üzletekben. Szigorú homorulat azt jelenti, hogy valamennyi függőleges szakasz a grafikon fölött halad minden szegmens, amely összeköti a két pontot a grafikon.
Megjegyezzük, hogy a koncepció a konvex és konkáv függvények (valamint szigorúan konvex és konkáv függvények szigorúan) meghatározott területen csak konvex tartományok.
Most, hogy egy algebrai definíciója.
Definíció: Adott egy négyzetes mátrix méretét. Ez az úgynevezett pozitív szemidefinit. ha (skalár termék a megjelölt pont) bármely, oszlopvektor. A mátrixot az úgynevezett pozitív definit. ha minden.
Megjegyezzük, hogy a kifejezés felírható. ahol - egy sorban mátrix egyenlő átültetett oszlopon. Általánosságban, a bal felső index használjuk, hogy jelöli az átültetett mátrix.
Definíció egy négyzetes mátrix nevezzük szimmetrikus. ha az alábbi egyenlet teljesül. azaz ha.
A szimmetrikus mátrix megegyezik egymással elemek szimmetrikusan vannak elrendezve, hogy egymást a fő diagonális.
Tétel: Legyen - szimmetrikus, nem negatív definit mátrix mérete. Ezután a másodfokú függvény (amely más néven egy kvadratikus alak. Adott mátrix)
Ez egy konvex függvény (az egész térben, azaz amikor).
Ha egy szimmetrikus mátrix - pozitív határozott, majd adni annak kvadratikus alak szigorúan konvex.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy - a két pontot és. hol. - pontja a szegmens összekötő.
Tegyük fel, hogy a mátrix nem negatív határozott. Elemi transzformációk segítségével írható