Inverzió - matematikai enciklopédia - Enciklopédia és Szótár
- algoritmust alkalmazva, numerikus számításokat az inverz mátrix. Amint a probléma megoldására lineáris rendszerek, numerikus kezelési módszerek vannak osztva a közvetlen és iteratív; Azonban iteratív módszerek miatt összetettsége játék itt sokkal kisebb szerepet.
A legtöbb közvetlen módszerek O. m. Az ötlet alapja a bomlási egy adott mátrix a termék könnyen kezelhető tényezők. ha
- Egy ilyen bővítés, a
Egy tipikus (és az egyik leggyakoribb) közvetlen módszerekkel O. m. A Jordan módszerrel (lásd. [1]).
. Legyen A nem-szinguláris mátrix a rend n építése a fordított mátrixba A -1 fordul elő pshagov; az eredmény a k-adik lépésben egy mátrix. első kstolbtsov egy raj egybeesik a megfelelő oszlopaiban az identitás mátrix. Az átmenet a (legyen A = 0) egy mátrix szempontból egyenértékű szorzás mátrix .sleva to-menny különbözik csak az egység (k + 1) -edik oszlopig. Elemei az oszlop úgy van megválasztva, hogy az eredmény (k + 1) -edik oszlop az egység, és az űrlap
Előállítás szorzott reprezentáció (1) a fordított mátrix igényel kb szorzásokat és összeadás művelettel durván. Körülbelül azonos számú további műveleteket kell szorozni a mátrixban (1), és így tiszta kilátás. Sok alkalmazásban, O. m működését. A faktorált formában (1) van olyan kielégítő, mint az explicit formában. Pl. számítás a termék, ahol a B-, oszlopvektor, megköveteli az azonos számtani. működik mindkét esetben. Ugyanez és memória igénye, amikor végre a számítógépen.
A fenti leírás a módszer Jordán feltételezhető az egyszerűség kedvéért, hogy az összes elem (az úgynevezett vezető elemek) nem nulla. Tény, hogy a módszer a Jordán, a Gauss-típusú módszerek megoldására lineáris rendszerek általában használható egy adott rendszer elforduló. Egy ilyen áramkör megegyezik a bevezetés (1) további tényező, amely figyelembe veszi permutációi sorainak és oszlopainak a fordított mátrixba. A pontosság a számított megoldások, mint abban az esetben a lineáris rendszerek mértékétől függ a növekedés a mátrix elemek a közbenső lépések a módszer. Az ilyen növekedés, és ebből következően, romlása a pontossága a számított megoldások Jordán módszer, még akkor is, ha kiválasztja a meghajtó elem, nagyobb valószínűséggel, mint a módszerek Gauss.
Súrlódásmentes megfelelő XTO hozzávetőleges inverz mátrix nevezzük. mátrix. Megvan a becslés
Így a maradék norma becslést a relatív pontosság a közelítő inverz mátrixot X. Ez egy fontos különbség numerikus problémát O. m. Probléma megoldása lineáris rendszerekben, ahol (pl. Ortogonális módszerek vagy eljárások Gauss) a maradék jellemzően kicsi, és a minősége a kapott döntés attól függ, a légkondicionáló rendszer.
Kezelés több fontos osztályát mátrixok végezhetjük sokkal hatékonyabb, mint az általános esetben, módszereket. Az ilyen Toeplitz, Hankel, szállítószalag (és különösen, három-diagonális) mátrix, blokk mátrixban Toeplitz szerkezetét, vagy a szerkezet a Kronecker termék, és így tovább. D. Ex. Legyen T Toeplitz mátrixa érdekében n + 1, az elemeket az R- vagy S:
Azt feltételezik, hogy nem csak a T, hanem a fő részmátrixának rend pnevyrozhdeny. Ezután a mátrixot, általában, nem egy Toeplitz, a reprezentáció (lásd [2].)
Ebben az esetben a vektorok
rendre az első és az utolsó oszlop Így Tpolnostyu meghatározott megadásával az első és az utolsó oszlop. Ha szükséges, (2) lehet egymás után számítunk minden elemét
Ez a számítás megköveteli a számtani. műveleteket.
A hatékony algoritmusok inverziós Toeplitz. mátrixok (lásd. pl. [3]) számítás szerint hajtjuk végre a kiújulás képletek és azt is megköveteli műveleteket. Feltételek nondegeneracy fő submatrices lehet enyhíteni, miközben a sorrendben O (n 2) szükséges számtani. munkát.