Geometriai tulajdonságok a másodrendű vonal
C pont (3, -1) a kör közepén a vonalon cutoff 2x-5Y + 18 = 0 egy húrt amelynek hossza egyenlő a 6. létrehozása kör egyenlete. Lásd megoldás.
Az ellipszis a pályája pontokat, amelyek a távolságok összege a két fix pont a síkban, az úgynevezett fókusz, állandó nagyobb, mint a távolság a foci. Állandó távolságok összege bármely pontján az ellipszis a gócok általában jelöli a 2a. gócok az ellipszis által kijelölt leveleket F1 és F2. a köztük lévő távolság - a 2c. Definíció szerint ellipszis 2a> 2c vagy a> c.
Legyen adott egy ellipszis. Ha a tengelyek a derékszögű koordináta rendszerben vannak megválasztva, hogy a fókuszpontok az ellipszis található az x tengely szimmetrikusan a származási Ebben a koordinátarendszerben, az egyenlet az ellipszis adják
x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 (1)
ahol b = sqrt (a ^ 2-c ^ 2); nyilván, a> b. Az egyenlet a forma (1) az úgynevezett kanonikus egyenlete az ellipszis.
Ezzel a választott koordináta-rendszer, a koordináta-tengelyek szimmetriatengelye az ellipszis és a származás - közepén szimmetria (ábra.). Szimmetria tengelye az ellipszis egyszerűen csak a tengelye körül, a központ a szimmetria - a központ. A pontok, ahol az ellipszis keresztezi a tengelye, az úgynevezett csúcsai. Ábra. ABCD ellipszis vertex pont A 'A, B', B Gyakran ellipszis tengelyek is nevezik szegmensek a'a = 2a és B'B = 2b; együtt a szegmens OA = a nevezett fő tengelye az ellipszis, a szegmens OB = b - kisebb tengelye.
Ha az ellipszis gócok találhatók az y-tengelyen (szimmetrikus az origó körül), az ellipszis egyenletnek ugyanolyan alakú, mint (1), de ebben az esetben b> a; Ezért, ha azt akarjuk, hogy a betű jelentése félig főtengelye, az (1) egyenlet kell lennie a betűk és b cserélve. Azonban a kényelem nyelvi problémák, egyetértünk a levelet, és mindig jelöli a félegyenes található az x tengely, a levél b - tengely található, az y tengelyen, függetlenül attól, hogy a nagyobb, vagy a b. Ha a = b, akkor a (1) egyenlet határozza meg egy kört, amely kezelni egy speciális esete egy ellipszis.
ahol a - félig-nagytengely, az úgynevezett excentricitása ellipszis. Nyilvánvaló, ε F1M = r1 és F2M = r2 (ábra.) Vannak a fokális sugara az M pontban fokális sugarak lehet kiszámítani képletek
r1 = a + εx, r2 = a - εx
Ha az ellipszis határozza meg (1) egyenlet, valamint a> b, akkor a vonalak
directrices úgynevezett ellipszis (ha b> a, direktrixét leíró egyenletek a y = -B / ε, y = b / ε)
Mindegyik direktrix a következő jellemzőkkel bír: ha r - a távolság a tetszőleges pont a hangsúly az ellipszis, d - távolság ugyanazon a ponton, az egyoldalú ezzel a fókusszal direktrix, az r arány / d állandó megegyezik az excentricitás ellipszis:
Ellipszis excentricitása e = 2/3, sugara a fókuszpontja az ellipszis egyenlő M 10. Számítsuk távolság M pont az egyoldalú ezt az irányt direktrixszel. Lásd megoldás.
Ellipszis excentricitása e = 2/5, a távolság a pont az ellipszis a direktrix: 20. Számítsuk távolság M pont a hangsúly, egyoldalú ezzel direktrixszel. Lásd megoldás.
A hiperbola a pályája pontokat, amelyek a különbség a távolságot két fix pont a síkon, az úgynevezett fókusz, állandó; ezt a különbséget hoznak abszolút érték és jelöljük 2a. Összpontosít túlzás által kijelölt leveleket F1 és F2. a köztük lévő távolság - a 2c. A definíció hiperbola 2a x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1
ahol b = sqrt (c ^ 2 - a ^ 2). Az egyenlet a forma (1) az úgynevezett kanonikus egyenlete hiperbola. Ezzel a választott koordináta-rendszer, a koordináta-tengelyek szimmetriatengelye a hiperbola, és a származás - közepén szimmetria (ábra.). A szimmetriatengelye a hiperbola a továbbiakban egyszerűen, mint a szimmetriatengelye központ - a központ a hiperbola. Hiperbola keresztezi egyik tengely; metszéspontja csúcsoknak nevezzük a hiperbola. Ábra. ABCD hiperbola vertex pont A „és A.
Téglalap oldala a 2a és 2b, szimmetrikusan helyezkednek el a tengelyhez képest, a hiperbola, és viszonyítja a csúcsok, úgynevezett alapvető téglalap hiperbola.
A hossza a 2a és 2b, összekötő a felezőpontja a fő téglalap hiperbola, más néven tengelyeire. Főátlójában a téglalap (a végtelenségig kiterjeszteni) a aszimptotái hiperbola. az egyenletek
-x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 (2)
meghatároz egy hiperbola, szimmetrikus a koordinátatengelyek, azzal gócok az ordinátán; (2) egyenlet, mint (1) egyenlet az úgynevezett kanonikus egyenlete hiperbola; Ebben az esetben az állandó különbség távolságok bármely pontjáról a gócok a hiperbola a 2b.
Két túlzás, amelyek által meghatározott egyenletek
x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1, -x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1
ugyanabban a koordináta-rendszerben, az úgynevezett konjugált.
Hiperbola egyenlő ellipszis (a = b) az úgynevezett egyenlő oldalú; kanonikus egyenlet
ahol egy - a távolság a központtól a hiperbola a tetejéig, az úgynevezett excentricitása hiperbola. Nyilvánvaló, hogy bármely a hiperbola ε> 1. Ha M (x; y) - tetszőleges pontja a hiperbola, a vonalszakaszok F1M és F2M (.. lásd az ábrát) nevezzük fókuszpont sugarak M. fókuszpontja sugara a hiperbola ág jobb számítjuk ki képletek
r1 = εx + A, R2 = εx - egy
fókuszpontok sugarak a bal oldali ága - a képlet
r1 = -εx - egy, r2 = -εx - egy
Ha hiperbola által adott (1) egyenlet, akkor a vonalak által meghatározott egyenletek
nevezzük directrices (lásd. ábra.). Ha hiperbola a következő egyenlet adja (2), a direktrix által meghatározott egyenletek
Mindegyik direktrix a következő jellemzőkkel bír: ha r - a távolság a tetszőleges pont a hangsúly a hiperbola, d - távolság ugyanazon a ponton, az egyoldalú ezzel a fókusszal direktrix, az r arány / d állandó egyenlő ekstsentrisistetu hiperbola:
Excentricitás hiperbola e = 2, a sugara a fókuszpont F, levonni a hangsúly 16. Számítsuk távolság M pont az egyoldalú ezt az irányt direktrixszel. Lásd megoldás.
Excentricitás hiperbola e = 3/2, a középpontja az eredete, az egyik directrices által adott az x = -8. Számítsuk ki a távolság M1 hiperbolához abszcisszán egyenlő 10, hogy a fókusz megfelel egy előre meghatározott direktrixszel. Lásd megoldás.
A parabola a pályája pont, amelyek mindegyike a távolság egy fix pont a síkban, az úgynevezett fókuszpont, egyenlő távolság egy rögzített egyenes vonal, az úgynevezett direktrixét. A hangsúly a parabola által kijelölt F betűvel, a távolság a fókuszt direktrixét - a levél p. A szám p nevezzük paraméter a parabola.
Legyen adott egy parabola. Egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy az x-tengely áthalad a hangsúly a parabola és merőleges a direktrix a direktrix került a tekintett fókuszpontba irányított; A származási félúton található a fókuszt és direktrixét (ábra.). Ebben a koordinátarendszerben, ez parabola határozza meg az egyenlet
(1) egyenlet az úgynevezett kanonikus egyenlete parabola. Ugyanebben koordinátarendszer direktrixét a parabola egyenlete
Focal sugara egy tetszőleges M pont (x; y) egy parabola (azaz a hossza a szegmens F (M) lehet kiszámítani a következő képlettel
A parabola van egy szimmetriatengelye, az úgynevezett tengelye a parabola, amely metszi egy ponton. A metszéspontja a parabola tengelyével nevű csúcsa. Ha a fenti koordinátarendszerben adja meg a parabola tengelye egybeesik a vízszintes tengelyen a csúcs a származás, az egész parabola rejlik a jobb fél síkon.
Ha a koordináta-rendszer úgy van megválasztva, hogy az x tengely tengelyével párhuzamossá a parabola, az eredete - egy vertex, de a parabola fekszik a bal fél-sík (ábra.), Az egyenlete lesz formájában
Abban az esetben, ha a származási és a felső egy vonalban van a tengelye az ordináta, a parabola lesz az egyenlet
ha a felső fél-sík (ábra.), és a
ha az alsó fele (Fig.)
Mind a parabola egyenlet (2), (3) és (4) a (1) egyenlet az úgynevezett kanonikus.
Számítsuk ki a fókuszpont a sugara M a parabola y ^ 2 = 20x, ha az abszcissza az M pont egyenlő 7. Lásd döntést.
Az egyenlet a parabola, ha az adott a hangsúly F (4, 3) és X-direktrix 5 = 0 Lásd döntést.
A poláregyenlet az ellipszis, hiperbola, parabola
Poláregyenlet. általános alakja ellipszis, hiperbola és parabola, a formája
ahol p, θ - poláris egy pont koordinátáit a sor p - gócos paraméter (fokális fele szeivényhúrja merőleges annak tengelyére), ε - excentricitásának (abban az esetben, a parabola ε = 1). Polár koordinátarendszerben így választjuk meg, hogy a pólus van a középpontban, és a sarki tengely tengelyének irányába vonal ellentétes irányban, hogy a legközelebbi fókusz direktrixszel.
Tekintettel az ellipszis egyenlet x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. létrehozása annak poláregyenlet a feltétellel, hogy az irányt a sarki tengely egybeesik a pozitív iránya az X tengely, és a pole közepén az ellipszis. Lásd megoldás.
Mivel az egyenlet a hiperbola x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1. létrehozása annak poláregyenlet a feltétellel, hogy az irányt a sarki tengely egybeesik a pozitív iránya az X tengely, és a pólus közepén a hiperbola. Lásd megoldás.
Mivel az egyenlet a parabola y ^ 2 = 2px. Készítsen saját poláregyenlet a feltétellel, hogy az irányt a sarki tengely egybeesik a pozitív irányát az x tengely és a pólus található a csúcsa a parabola. Lásd megoldás.
