Fix pont - Matematikai Encyclopedia - Enciklopédia és Szótár
- 1) N. m. Fmnozhestva kijelző X- pont olyan, hogy. . Fennállásának bizonyítása H. t és módszerek megtalálására N. t.- fontos feladata a matematika, azaz, hogy a megoldás minden egyenlet átalakításával azt egy űrlap csökkentett megtalálása N. t kijelzőn, ahol -... Az azonosító üzemeltető. Attól függően, hogy milyen struktúrát felruházva több Xa és milyen tulajdonságokat a kijelzőn F, vannak bizonyos alapelvek fix pontot. A legnagyobb érdeklődés olyan esetek, ahol X topologikus. F- tér és a folyamatos, bizonyos értelemben, vagy egy másik szolgáltató.
A legegyszerűbb ilyen elvek elve összehúzódás feltérképezése. Hagyja X teljes metrikus. tér és az üzemeltető olyan, hogy
Ezután a kezelő Fimeet pontosan egy N. tk-paradicsomban lehet beszerezni, mint egy határa az egymást követő közelítések önkényesen. Ez az elv nem csak a fennállásának H. t. De azt is jelzi, olyan módon, hogy megtaláljuk, és egyszerűen mérhető a konvergencia sebessége a sorozat Általában a feltétel (1) nem lehet helyettesíteni a feltétel
de ha Xkompaktno, a feltétel (2) továbbra is, hogy az üzemeltető Fedinstvennoy N. t. További közös elve az általános összehúzódás. Tegyük fel, mint fent, X teljes metrikus. térben és
Ezután csak Fimeet N. t. Ha az X Banach tér, akkor (1) nem más, mint a Lipschitz feltétele Fc üzemeltető állandó egységnél kisebb. Az alapelv az összehúzódás térképezés széles körben használják bizonyítására és egyediségét megoldások algebrai, differenciál, integrál, és más egyenletek közelítő meghatározására megoldások ezen egyenletek.
Vannak más topológiai feltételekkel. természet, biztosítva a létezése H. m., az üzemeltető F. A legismertebb ezek közül az elvet Schauder. Hagyja X- Banach tér és F teljesen folyamatos üzemben leképezés korlátos konvex zárt halmaz az ő részéről. Aztán Fimeet Shotya legalább egy N. t. Ugyanakkor ebben az esetben az a kérdés, hogy hány N. t. Nyitva marad, és nincs jele annak, milyen módon a helyét.
Példa (Peano-tétel). Legyen egy funkció közös folyamatos a régióban ezen a területen. Ha, a szegmens van legalább az egyik megoldása az egyenletnek
(4) egyenlet együtt a feltétel (5) egyenértékű az integrál egyenlet
A feltételek a tétel mutatja labda egy teljesen folyamatos, és a labdát. Ezért, a Schauder elve létezik N. m. Operator F, és az ég-egy megoldást a Cauchy probléma (lásd. [4], [5]).
Általánosítása Schauder elv az elv a Tikhonov. Hagyja X- elkülöníthető lokálisan konvex tér és F- folyamatos üzemben feltérképezése konvex kompakt halmazt önmagába. Aztán Fimeet legalább egy N. Shotya tonna. Vannak más általánosítások Schauder, beleértve a több értéket kijelző, de minden esetben meg kell, hogy vállalja a domborulata a készlet, amely nélkül Schauder tétel és általánosítások hamis. Talán egy kombinációja Schauder elv és az elv a kontrakció feltérképezése. Az üzemeltető F, amely átalakítja a határolt zárt konvex halmaz Sbanahova X tér önmagába, akkor ábrázolható, ahol F1 - ez egy folyamatos és F2 - szerződő üzemeltető. Aztán Fimeet legalább egy N. tonna Shotya.
Elvek Schauder típus lehet osztani a következő módon noncompact szereplők. Hagy egy korlátos halmaz teljes metrikus. tér X. MNC ezt meg is nevezik. legnagyobb alsó határa ezeket az értékeket, a k-ryh véges -net M. Kompakt szett üzemeltető hívott. tömítő, nem kompakt, amennyiben bármely korlátos halmaz. Hagyja kondenzációs üzemben Fpreobrazuet határolt konvex zárt halmaz magában. Aztán Fimeet Shotya legalább egy N. azaz. Beadhatók más MNC változó to-, akkor kap különböző változatai tételek, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy bizonyítani a létezését megoldások különféle eltérés, szerves és egyéb egyenletek nem teljesen folyamatos szereplők Banach terek.
Minél több finom topológiai. megfogalmazni fogalmak lehetővé teszi, hogy létezik egy erős N. m. Legyen a határrégió határolt térben Mbanahova Xzadano nem degenerált vektor mező F, m. e. minden egyes pont van rendelve egy nem nulla vektor F (x). Ez a mező a teljesítménye bizonyos feltételek korrelációban lehetnek egész szám hívják. F területén forgás. Tegyük fel először, Xkonechnomerno F és folyamatosan. Ezután definiáljuk topológiai. otobrazheniyamnozhestva mértékben az egység szférában. Most X- Banach tér végtelen, és ahol F- teljesen folyamatos az üzemeltető. Az ilyen mezők nevezzük. teljesen folyamatos.
Hagyja, hogy a véges dimenziós altér és meglehetősen jó közelítéssel - a vetítés. Ha kellően kicsi ahhoz, hogy a területen is a nem-degenerált és forgása független a választott közelítő altér és üzemeltetője. Ezt a számot hívják. forgó teljesen folyamatos vektor mező F a határt, és jelzi. Fontos tulajdonsága a forgatás, hogy nem változik meg homotopy átalakulások terén F.