Field (algebra)

Gyűrűk és mezők. Matematikai struktúrák. Lecke 82 // MathTutor

Field algebra - matematikai objektum meghatározott modern matematika mint kommutatív asszociatív gyűrű. ahol bármely nem nulla elemnek van egy reciprok. Az is általánosan véljük, hogy míg 1 ≠ 0 (azaz, semleges elemek hozzáadásával és szorzás eltérő). Jellemző példa a mezőket: valós számok [math] \ mathbb R [/ math]. racionális számok [math] \ mathbb Q [/ math]. mező fogalmát vezették be a XIX században, munka, amelynek célja a probléma megoldásának megtalálása klasszikus képlet megoldására olyan algebrai egyenlettel [math] n [/ math] -ik mértékben. Mező egy alapvető célja kommutatív algebra. koncepciója alapján a mező van kialakítva algebrai geometria.

Tankönyvek algebra területén általában jelöljük Latin K betű vagy F.

[Rule] részletes meghatározása

Field - nemtriviális [1] készlet (algebrai struktúra) bináris műveletek az összeadás és szorzás + [matematikai] \ cdot [/ Math]. hogy:

• kommutatív [matematikai] a + b = b + a [/ matematikai]. [Math] egy \ cdot b = b \ cdot egy [/ matematikai];
• asszociatív [Math] (a + b) + c = a + (b + c) [/ Math]. [Math] (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) [/ matematikai];
• szorzás elosztódva tekintetében hozzáadásával [matematikai] egy \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ matematikai];
• bármely elem [matematikai] egy [/ matematikai] az ellenkező alatti hozzáadásával [matematikai] -a [/ Math]. oly módon, hogy [matematikai] A + (-a) = 0 [/ matematikai];
• minden nem nulla eleme [matematikai] egy [/ Math] van egy inverz multiplikatív [matematikai] egy „[/ Math]. oly módon, hogy [matematikai] egy \ cdot a „= 1 [/ Math].

[Rule] Példák építési és

Példák területeken: a racionális számok [math] \ mathbb Q [/ math]. területén a valós számok [math] \ mathbb R [/ math]. véges mező [matematikai] p [/ matematikai] elemeket [matematikai] \ mathbb F_p [/ matematikai] ([matematikai] p [/ Math] - prímszám), a mező a racionális függvények egy változó [matematikai] K (x) [ / Math] (ahol a [matematikai] K [/ Math] - a mező).

A mező lehet beszerezni a szerves gyűrű, azaz a gyűrű kommutatív és asszociatív szorzás, nem zérusosztó (a termék a nem nulla elemek nem nulla), ha vesszük a hányadosa területen. azaz természetes adja összeadás és szorzás egy sor formális frakciók [matematikai] a / b [/ matematikai] ([matematikai] b \ ne 0 [/ Math]). Így például, a gyűrű egész számok [matematikai] \ mathbb Z [/ matematikai] kapunk területén racionális számok [matematikai] \ mathbb Q [/ Math].

Ha adott területen [math] K [/ math]. A befogadó szakterülete a algebrai lezárás [matematikai] K „[/ Math]. történő egyesítésével az összes gyökereit algebrai egyenletek együtthatói [matematikai] K [/ Math]. Például, az algebrai lezárását valós számok [matematikai] \ mathbb R [/ Math] egy a komplex számok [matematikai] \ mathbb C [/ Math]. Annak bizonyítására, hogy létezik a algebrai lezárás általában használatát igényli az axiómának a választás.

Field a metrikus kiszabott be lehet ágyazni egy metrikus tér, annak befejezését (azaz pótlása azokat az alapvető szekvencia lesz egy limit). Utánpótlási beléphet a mező struktúrája, folytatva a műveleteket az összeadás és a szorzás a folyamatosság. Így, a befejezése a racionális számok [matematikai] \ mathbb Q [/ Math] által szabványos metrikus (a távolság a számok egyenlő a modulusa a különbség) egy mező a valós számok [matematikai] \ mathbb R [/ Math]. Befejezése a racionális szám területén a mutató által megadott [math] p [/ math] -adic norma lenne field [math] p [/ math] -adic [matematika] \ mathbb Q_p [/ math]. [2]

Algebrai geometria lépett a racionális függvények algebrai fajta [math] X [/ math]. például a racionális függvények a görbén.

Field álló véges számú elemet nevezzük véges mező (a fent említett területen a racionális számok és a valós végtelen). Egy példa a véges mező a gyűrű a maradékok modulo [matematikai] p [/ Math]. álló [matematikai] p [/ matematikai] elemeket [matematikai] Z / pZ, [/ matematikai], ha a [matematikai] p [/ Math] - prímszám. Bármely véges mező [matematikai] q = p ^ k [/ Math] néhány elsődleges [matematikai] p [/ matematikai], és pontosan egy pitch [matematikai] q = p ^ k [/ Math] elemeket az egyes elsődleges szám [matematikai] p [/ matematikai], és mindegyik természetes szám [matematikai] K [/ Math]. A csoport a nemnulla elemek a véges testen szorzás ciklikus. Véges testek használják a kódolás elmélete és kriptográfia.

[Edit] History

mező fogalom jelent meg a XIX században a munka Niels Abel és Galois. A megoldhatóságának egyenletek a radikálisok. Ez a probléma volt köszönhető, hogy a meg kell oldani az egyenletet [matematikai] N [/ Math] edik hatványa [matematikai] a_0x ^ n + a_1x ^ +. + A_x + a_n = 0 [/ Math] gyökök, r. F. kifejezések a megoldások ennek az egyenletnek keresztül műveletek összeadás, kivonás, szorzás, osztás és kitermelését gyökerei a különböző mértékű. A XIX században találtak kifejezést az oldat általános egyenletek 1, 2, 3, 4-ed-fokú, de ez nem volt ismert képletek az oldat általános egyenletek magasabb fok. Galois-elmélet, amely működik margók, hogy tisztázza ezt a kérdést. Klasszikus Galois-elmélet foglalkozik véges algebrai kiterjesztés mezők, amelyek meghosszabbításai a kezdeti mező (például mező racionális számok [matematikai] \ mathbb Q [/ Math]) csatolásával véges számú gyökereit egyenletek együtthatóinak a bázis területén. Galois egymás mellé helyezett, így kiterjesztett véges csoport automorfizmusainak megőrzése in situ bázis almező, és bebizonyította, hogy az oldhatóság egyenletet gyökök egyenértékű oldhatósági véges algebrai meghosszabbítását a megfelelő csoport, így megoldása a klasszikus matematikai problémát a oldhatósága algebrai többtagú egyenletek gyökök. Például, a Galois-elmélet, hogy az általános egyenlet az ötödik fokozat és a magasabb oldhatatlan gyökök.

A „mező” jelenik meg később a XIX században, és tegye be a matematikai munkái Dedekind.

[Edit] Megjegyzések

1. ↑ Ie Ez áll egynél több elem
2. ↑ Bármilyen racionális szám [matematikai] r [/ matematikai] jelölhető [matematikai] r = p ^ n \ frac ab [/ matematikai], ahol [matematikai] egy [/ matematikai] és [matematikai] b [/ matematikai] egészek nem osztható egy előre meghatározott prímszám [math] p [/ math]. és [matematikai] N [/ Math] - egész szám. Ezután [matematikai] | r | _p [/ matematikai] - [matematikai] p [/ matematikai] -adic norma [matematikai] r [/ Math] - definíció szerint a [matematikai] p ^ [/ Math]. Ha a [matematikai] r = 0 [/ Math]. majd a [matematikai] | r | _p = 0 [/ Math].

[Edit] Referenciák

• Van der Waerden BL korszerű algebra. t.t.1-2, M-L: DSTI NKTP 1937.