Digitális Könyvtár Algebra és Számelmélet
4.4. Gauss-Jordan módszer
Gauss-Jordan módszer azon alapul, elemi transzformációk (3.2) vonalak kiterjesztett mátrix
Ennek eredményeként, az egyes elemi transzformációk kibővített mátrix változott, de a lineáris egyenletrendszer megfelelő kapott mátrixok, egyenértékű az eredeti sor lineáris egyenletek.
Adott egy rendszer m lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel. Alkalmazása elemi transzformációk, építünk egyenértékű rendszer egy speciális típusát. Ehhez, úgy döntünk, mint az első az egyenletek az egyenlet rendszer, ahol az együttható az x1 nem nulla. Az általánosság elvesztése nélkül tételezzük fel, hogy. Ezután az első egyenlet egyenlet
Megszorozzuk az első egyenletet. Majd szorozzuk ezt az egyenletet az ugyanaz. termwise és adja hozzá az egyenletek indexű i = 2,3, ..., m. Az átalakítás után egyenletek indexek i> 1 elhagyjuk ismeretlen x1. Az első lépés a módszer Gauss-Jordan befejeződött.
Előfordulhat, hogy az első lépésben, együtt az ismeretlen x1 lesz kizárva ismeretlenek. de van legalább egy olyan egyenlet, amely továbbra is ismeretlenek. Az egyik ilyen egyenletek veszi a második egyenlet rendszert. Ebben az esetben, a kiterjesztett mátrix. megfelelő a kapott rendszer formájában:
Mi használjuk a második egyenlet, hogy megszüntesse az ismeretlen minden egyenletek, kivéve a második. A második lépés után a módszer Gauss-Jordan megkaphatják expandált mátrix
Folytatva az eljárást, miután r lépéseket megkapjuk a mátrixban. R tartalmazó egyetlen oszlop helyett az első n mátrix oszlopait A (r - rank A mátrix a rendszer).
Ebben az esetben három lehetőség van:
1. Ha. a mátrix átalakul a mátrix
A rendszer egy egyedi megoldást :.
Egy lineáris egyenletrendszer (4.4.6) megfelel a kiterjesztett mátrix. Alkalmazása a mátrix algoritmus Gauss-Jordan módszer, megkapjuk a mátrix. Megmutatjuk, hogy. Kibővített mátrix megfelel egy mátrix-egyenlettel. amely egy egyedülálló megoldás X = B. A mátrix nyert a mátrix a Gauss-Jordan. Ezért a rendszer lineáris egyenletek, mátrixok és megfelelő. egyenértékűek, azaz Ők ugyanazt a megoldást. Ebből következik, hogy. ezért.
Ezért ahhoz, hogy egy nem-szinguláris mátrix kiszámításához fordított mátrixba. meg kell, hogy egy mátrix. Gauss-Jordan módszer a mátrix transzformációs mátrix és az identitás mátrix E. szem előtt, míg a földön az identitás mátrix E megkapjuk az inverz mátrixot.
Példa. Számítsuk ki az inverz mátrixot a mátrix
Határozat. összetétele a mátrix
Abban iteráció 1, abban a hitben. megkapjuk
At iteráció 2, gondolkodás. megkapjuk