Az exponenciális forma egy komplex szám
A képletben, ahol x és y - valós számok, hogy x = 0. kapjunk képletű
amely az úgynevezett Euler-képlet.
Használata Euler-képlet lehet bármilyen komplex szám z írt exponenciális formában
ahol r - a modul egy komplex szám, és j - az érvelését.
Ha ez Euler-képlet helyére y -y. akkor megkapjuk.
viszonylag kényelmes. siny. Adunk hozzá, és vonjuk ki az egyenletet, megkapjuk
Ennélfogva a képletek
7.18. Az általános megoldás a homogén lineáris differenciálegyenlet N-edik érdekében állandó együtthatós.
Az általános megoldás az inhomogén egyenlet, amint azt korábban kimutatták (Tétel 7.4). az összege az általános megoldás a homogén egyenlet, és egy adott oldatban az inhomogén egyenlet, t. e.
ahol - lineárisan független megoldásokat a homogén egyenlet;
- kezdve egy adott oldatban az inhomogén egyenlet.
Általában, a homogén lineáris differenciálegyenlet rend n formájában
ahol - állandók.
Különös megoldások a homogén egyenlet keres formájában
Származékok e funkció egyenlő
Helyettesítő funkció és származékai a homogén egyenlet
Osztjuk ezt az egyenletet kapunk egy egyenletet
Ez az egyenlet az úgynevezett jellemző.
A karakterisztikus egyenlet algebrai egyenlet n-ed-fokú képest l. Bármilyen algebrai egyenlet n-ed-fokú a komplex síkban van n gyökerei.
Tekintsük az összes lehetséges esetben a megoldások a homogén differenciálegyenlet függően a gyökereit a karakterisztikus egyenlet.
Case 1. Minden a gyökerek a karakterisztikus egyenlet valós más.
Ebben az esetben, a differenciál egyenletnek n lineárisan független egyedi megoldásokat
Az általános megoldása a homogén egyenlet formájában
ahol - tetszőleges állandók.
22. példa 7. Find az általános megoldás az Eq.
Azt, hogy ki a karakterisztikus egyenlet
Találunk a gyökereit. Van két saját döntéseket. Írja az általános megoldás
2. eset A karakterisztikus egyenlet egy pár komplex konjugált gyökerek, ahol.
Ezután ezek a gyökerek megfelelnek két lineárisan független komplex-konjugátum megoldások
E megoldások két lineárisan független valós megoldásokat
Az általános megoldása a homogén differenciálegyenlet formájában
7. példa: 23. Find általános egyenlet megoldása.
Azt, hogy ki a karakterisztikus egyenlet
Megtalálja a gyökerei. A egyenletnek két lineárisan független egyedi megoldásokat
Írja az általános megoldás
3. eset A karakterisztikus egyenlet érvényes gyökér sokfélesége l K.
Ezután ez megfelel k lineárisan független egyedi megoldásokat a homogén egyenlet, amelyek formájában
Az általános megoldása a homogén differenciálegyenlet formájában
24. példa 7. Find az általános megoldás az Eq.
Azt, hogy ki a karakterisztikus egyenlet
Ez egy igazi gyökere sokaságának k = 2 Ez megfelel a két lineárisan független egyedi megoldásokat.
Case 4. A karakterisztikus egyenlet egy pár komplex konjugált gyökerek multiplicitás k.
Ezután ezek a gyökerek megfelel 2 kB lineárisan független egyedi megoldásokat a homogén egyenletek, amelyek formájában
Az általános megoldása a homogén differenciálegyenlet formájában
7. példa: 25. Find általános egyenlet megoldása
Azt, hogy ki a karakterisztikus egyenlet és megtalálja a gyökereit.
Û Þ Þ
A egyenletnek két gyökerei multiplicitás k = 2.
Az általános megoldás adja
7.19. Egy különösen oldatot inhomogén lineáris differenciálegyenletek az n-edik érdekében állandó együtthatós
Fajta egy adott oldatban az inhomogén differenciálegyenlet
Ez attól függ, hogy milyen típusú a jobb kéz felőli egyenlet (funkció) és az értékek a karakterisztikus egyenlet gyökerek.
Tekintsük találni egy adott megoldás a kétféle funkciót.
1. eset A jobb oldali egyenlet
ahol g - valódi értéket - az m-ed-fokú polinommal.
Ebben az esetben, egy adott oldat kérik formájában
ahol - m-ed-fokú polinom,
s - fokának multiplicitása a gyökér a karakterisztikus egyenlet.
Ha nem ez a gyökér a karakterisztikus egyenlet, akkor s = 0.
25. példa 7. Oldjuk egyenletet.
A karakterisztikus egyenlet a homogén egyenletnek egy gyökere multiplicitás 2. ezért, az általános megoldás a homogén egyenlet formájában
Találunk egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet. A jobb oldalon az egyenlet, t. E .. Ez az érték nem egy gyökér a karakterisztikus egyenlet (innen a multiplicitás s = 0). Ebben az esetben, egy adott oldat kérik formájában. Származékai találni, és helyettesíti azokat az eredeti egyenlet
Osszuk el ezt a egyenletet van. Itt van.
Írja be az adott megoldást, és az általános megoldás
26. példa 7. Oldjuk egyenletet.
Az általános megoldás az inhomogén egyenlet összege az általános megoldás a megfelelő homogén egyenletet, és egy adott oldatban az inhomogén egyenlet.
Találunk az általános megoldás a homogén egyenlet. A karakterisztikus egyenlet gyökerei. Az általános megoldás.
Találunk egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet. A jobb oldali az egyenlet felírható
ahol az exponens g egy függvény g = 0. Ez az érték egybeesik egy gyökér a karakterisztikus egyenlet, t. e. ez a gyökér a sokaságának s = 1. Ezért, egy adott megoldást kell találni formájában
Találunk-származékok ezt a funkciót, és azokkal helyettesíti az eredeti egyenletet. kap
Egyenlővé együtthatói azonos hatásköre x (i) a bal és jobb oldalán az egyenlet
Mi olyan rendszert találni a és b együtthatók
Ennélfogva ,. Írja be a partikuláris megoldás
Az általános megoldás az eredeti differenciálegyenlet
2. eset A jobb oldalon egy inhomogén differenciálegyenlet formájában van
ahol g és w - a valódi értékek,
és - polinomokként és volt.
Ebben az esetben, egy adott megoldást a differenciálegyenlet kérik formájában
s - multiplicitása a gyökér a karakterisztikus egyenlet, amely egybeesik a g a kitevőt a jobb oldalon a funkciót. Ha g nem esik egybe egy, akkor s = 0.
27. példa 7. Oldjuk egyenletet.
A karakterisztikus egyenlet van komplex konjugált gyökerei. Így az általános megoldás a homogén egyenlet formájában
Keresünk egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenlet. A jobb oldalon az egyenlet, R. E. G = 0. A értéke g = 0 nem esik egybe a valós része a gyökerek a karakterisztikus egyenlet, ezért s = 0. A különösen megoldást találjanak formájában
ahol A és B - állandók.
Találunk-származékok helyettesíthetik azokat az eredeti inhomogén egyenlet
Egyenlővé együtthatók sinx és cosx a bal és jobb oldalán az egyenlet. Mi olyan rendszert találni az állandók A és B, valamint megoldani.
Û Û Þ ,.
Írja be a partikuláris megoldás
és az általános megoldás