Altér, amelynek alapja és méretek
Altér, alapja és dimenzió.
Legyen L - lineáris tér felett P és A - részhalmaza L. Ha egy önmagában is egy lineáris tér felett P képest ugyanazt a műveletet, mint a L. A tér nevű altér L.
Definíciója szerint egy lineáris tér altér A szükséges volt, hogy teszteljék a megvalósíthatóságát műveletek az A:
és ellenőrizze, hogy a műveleteket a hatálya alá tartoznak a nyolc axiómák. Azonban az utóbbi felesleges lenne (annak a ténynek köszönhető, hogy ezek az axiómák teljesülnek L), azaz mi a következő
Tétel. Legyen L egy lineáris tér a mező fölé P és. Egy sor akkor és csak akkor altér L., ha a következő követelményeknek:
Jóváhagyása. Ha L-n dimenziós vektortér A és altér, akkor A is dimenziós lineáris tér és átmérője nem haladja meg az n.
Példa 1. altér vektorok V2 egy több szegmensből S a síkja vektorok, amelyek mindegyike fekszik egyik koordinátatengelyek 0-szeres és 0y?
Határozat. Hagyja, és. Aztán. Ezért. S nem altér.
2. példa: lineáris altér a lineáris tér-síkban V2 szegmensek vektorok S halmaz minden olyan vektor, a sík, a elejét és végét, amely fekszenek adott vonalon l ez a sík?
E Ha a vektor szorozni egy valós szám k. akkor megkapjuk vektor S. Ha is tulajdonosa és - két vektor S, akkor (a szabály alapján vektor túlmenően a vonalon). Ezért, S egy altér.
3. példa: egy lineáris altér vektortér V2 sokasága síkban vektor, amelynek végei fekszenek adott vonalon l. (Tegyük fel, hogy az elején minden vektor az eredete)?
Abban az esetben, ha l vonal nem halad át a megállapított származási lineáris altér V2 nem. mert .
Abban az esetben, ha l egyenesen fut át a származás, a halmaz lineáris altér a tér V2- és megszorozzák minden vektor egy valós szám α az F területen megkapjuk. Ezért lineáris tér követelmények sokasága Egy teljesülnek.
4. példa Adott egy vektor rendszer lineáris tér L a mező fölé P. bizonyítani. a készlet minden lineáris kombinációi együtthatók P altér L (altér nevezzük altér által kifeszített lineáris vektorok vagy vektor rendszerek és obolochkoyetoy jelöljük az alábbiak szerint :. vagy).
Határozat. Sőt, mivel minden elem x, YA van, ahol. majd
Mi ellenőrzi a megvalósíthatóságát a második feltétel a tétel. Ha x - bármilyen vektor A és T - tetszőleges számú P. majd. Mivel majd így. Így szerint a tétel. sokaságát A - L. lineáris altér a tér
Véges dimenziós lineáris terek a fordítottja is igaz.
Tétel. Bármilyen altér A lineáris tér L lineáris egy mezőt néhány vektorok köpeny rendszer.
A probléma megoldásának megtalálása a bázis héj és a lineáris mérete a következő tétel.
Tétel. Alapján lineáris span egybeesik az alap vektorok a rendszer. A méret a lineáris hajótest egybeesik a rang vektor rendszer.
4. példa keresése és alapon P3 lineáris mérete altér [x]. Ha ,,,.
Határozat. Köztudott. vektorok és koordinálja sorok (oszlopok) azonos tulajdonságokkal (viszonyítva a lineáris összefüggés). Mi A mátrix kialakításához a koordináta A = oszlop vektorok alapján.
Mi található a rangsorban a mátrix
Következésképpen, a rangot R (A) = 3. Így a vektor rendszer rang 3. Ennélfogva, a dimenziója altér S egyenlő 3, és ez áll a három alap vektorok (alapjául kisebb kizárólag a koordinátáit ezen vektorok).
5. példa Annak bizonyítására, hogy a beállított vektorok H aritmetikai térben, amelyben az első és az utolsó koordinátái 0, egy lineáris altér. Keresse alapja és dimenzió.
Akkor, és. Ezért minden. Ha, akkor. Így szerint a lineáris altér-tétel, a H halmaz egy lineáris altér. Találunk alapján H. Vegyük a következő vektorok H. ,,. Ez a rendszer lineárisan független vektorok. Valóban, legyen.
Akkor ellenőrizze, hogy a rendszer lineárisan függ bármely x vektor H. Ez azt bizonyítja, hogy a maximális lineárisan független rendszert vektorok altér H. - H és egy alapon dimH = n2.