Alapvető szekvencia elsőbbségének
meghatározás
A sorrend az úgynevezett alapvető. amennyiben az megfelel a Cauchy állapotban. minden létezik egy pozitív egész szám úgy, hogy minden és bármely egyenlőtlenséget. Röviden, ez a feltétel felírható :.
Ad egyenértékű meghatározást. A sorrend az úgynevezett alapvető. ha minden létezik egy pozitív egész szám úgy, hogy minden és bármilyen természetes egyenlőtlenség. Röviden, ez a feltétel felírható :.
Megmutatjuk, hogy az alapvető szekvencia határolja. Tegyük fel, majd a szerint a feltétele a Cauchy létezik számos olyan, hogy az összes, és az összes egyenlőtlenség, és különösen. Mivel minden, az összes egyenlőtlenség hol. Ez azt jelenti, hogy - korlátos sorozatot.
Tétel (Cauchy-féle vizsgálat)
A sorozat egy véges határérték akkor és csak ha már alapvető.
szükség
Tegyük fel, hogy a sorozatnak van véges határa. Mi meg azt egyenlő. Definíció szerint, az ilyen korlátozás, hogy az egyenlőtlenség. Tegyük fel. Tegyük fel. Azáltal összege a modul (a különbség), megkapjuk. Következésképpen minden, és az összes egyenlőtlenség, azaz a. E., A feltétel Cauchy.
önellátás
Let - alapvető sorrendben. Megmutatjuk, hogy van egy véges határérték. A definíció szerint az alapvető egyenlőtlenség sorozatot. Mivel az alapvető szekvencia korlátos, a Bolzano-Weierstrass-tétel. tartalmaz egy konvergens részsorozata. Legyen ennek határa, m. F .. Megmutatjuk, hogy a szám a határ az eredeti sorozat. A definíció szerint a határt. . Let. Mi fix szám (ilyen szám nem létezik, mióta). Aztán, amikor és az összes egyenlőtlenség. Ebből az következik, hogy az összes egyenlőtlenség :. Ie ..
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat divergens.
bizonyíték
annak szükségességét, hogy:
Tegyük fel, hogy a sorozatnak van véges határa. Megmutatjuk, hogy ez alapvető fontosságú.
Tegyük fel, hogy definíció szerint határa sorrendben:
Mivel az önkényes, akkor mi is elfoglalja helyét, például:
Azaz, ami azt jelenti, hogy - a definíció szerint az alapvető.
A szükségesség bizonyított.
önellátás:
Let - alapvető sorrendben. Megmutatjuk, hogy van egy véges határérték. Először megmutatjuk, hogy - korlátozott.
Mivel - alapvető szekvenciát, akkor definíció szerint az alapvető sorrendben:
és
Mivel az önkényes, akkor veszünk
Tegyük fel, azt mutatják, hogy a szám $ a $ és korlátozni fogja az egész sorozatot:
Mivel az alapvető:
Mivel az összetartó:
Vegyük, akkor:
Lássuk be, hogy a szekvencia nem alapvető fontosságú.