Abstract négyzetes hiperbola

előző ◈ a következő
    bevezetés
  • 1 története
  • 2. Definíciók
    • 2.1 kúpszeletek
    • 2.2 Amint lókusz
      • 2.2.1 keresztül trükkök
      • 2.2.2 A direktrixszel és fókusz
  • 3 Kapcsolatban meghatározása
    • 3.1 kapcsolatok
  • 4 egyenletek
    • 4.1 derékszögű koordináták
    • 4.2 Polárkoordináták
  • 5 tulajdonságait
    • 5.1 Asymptote
    • 5.2 átmérő
  • 6 érintők és merőlegesek
  • 7, és a görbületi sugara a görbület a hiperbola. evolután
  • 8 féle túlzás
    • 8.1 hiperbola társított egy háromszög
  • 9 Koordinátarendszerek Irodalom

Túlzó és trükkök

Hiperbola (ógörög ὑπερβολή ógörög βαλειν -... «dobja», ὑπερ - «szuper") - a pontok helye M euklideszi sík, melyek abszolút értékének különbsége távolságok M két kiválasztott pont F1 és F2 (az úgynevezett gócok) állandó. Pontosabban,

Együtt az ellipszis és parabola, hiperbola egy kúpszelet és a négyzetes. A hiperbola lehet meghatározni, mint egy kúpszelet rázőasztal egynél nagyobb.

1. Előzmények

A „hiperbola” (görög ὑπερβολή -. Feleslegét) vezette be, Apollonius Perga (körülbelül 262 BCE -...... Ca. 190 BCE), mivel a probléma építésének a pont a hiperbola csökken a problémát az alkalmazás feleslegben .

2. Definíciók

A hiperbola lehet meghatározni többféleképpen.

2.1. kúpos

Három fő kúpos szakasz

A hiperbola lehet meghatározni, mint a pontok halmaza, amely eredményeként jött létre a kúpos rész sík elfogó mindkét oldalán a kúp. Egyéb eredmények metszősík a kúp parabola, az ellipszis és a degenerált esetekben, mint például keresztbe vonalak és a megfelelő pontot, és felmerülő, amikor a vágási sík átmegy a csúcsa a kúp. Különösen a keresztbe vonalak lehet tekinteni, mint egy degenerált hiperbola, amely egybeesik a aszimptotákkal.

2.2. Ahogy locus

2.2.1. a gócok

A hiperbola lehet meghatározni, mint a pontok helye, amelyek távolsága a különbség legfeljebb két megadott pont nevű gócok, azonos, és egyenlő a 2a.

2.2.2. Keresztül direktrixszel és fókusz

A pontok helye, amelyre az arány a távolság a fókusz és az adott vonalon, úgynevezett direktrix folyamatosan egységnél nagyobb, az úgynevezett hiperbola. Mivel állandó ε nevezzük excentricitása hiperbola.

3. Kapcsolódó meghatározása

Aszimptota a hiperbola (piros görbe) kékkel szaggatott vonalak metszik központjában túlzás, C. Két élességállítási túlzás kijelölt F1 és F2. Direktrix vonalak kijelölt hiperbola dupla vastagságú, és kijelölt D1 és D2. A excentricitás ε egyenlő az arány a távolságokat a hiperbola P pont, hogy a fókusz és a direktrix megfelelő (látható zöld). Hiperbola vertex kijelölt ± a.

  • A hiperbola két különböző görbéket nevezzük ágak.
  • Az egymás mellett szempontjából a két ág a hiperbola nevezzük csúcsot.
  • A legrövidebb távolság két ága egy hiperbola hívják főtengelye a hiperbola.
  • Mid-nagytengely nevezik központjában túlzás.
  • A távolság a központtól a hiperbola egyik csúcsa az úgynevezett főtengelye a hiperbola.
  • Távolság a központtól, a hiperbola egyik fókusz az úgynevezett fokális rasstoyaniems.
  • Mindkét összpontosítani túlzás hazugság kiterjesztése a nagytengely azonos távolságra a központtól túlzás. Közvetlen tartalmazó nagyobb hiperbola tengelyen az úgynevezett valós vagy a keresztirányú tengely a hiperbola.
  • Egy egyenes merőleges a valós tengelyének és a középpontján átmenő nevezzük a képzetes tengelynek vagy konjugátum hiperbola.
  • Közötti intervallum a fókuszt, és túlzás túlzás merőleges valós tengelye, az úgynevezett fokális paramétert.
  • A távolság a fókuszt a aszimptotáját a hiperbola nevezik hatással paramétert. (Számszerűen egyenlő a hatás paraméter b.)
  • Kapcsolatos problémák a mozgás a testek fölött hiperbolikus pályák távolságra a hangsúly a legközelebbi csúcsa a hiperbola nevű pericentrikus távolságot.

3.1. arány

4. egyenletek

4.1. derékszögű koordináta-rendszerben

A hiperbola által adott másodfokú egyenlet derékszögű koordináta (x y.) A sík:

,

Mozgó a központ a hiperbola a származási és forgatva a közepe körül szögben Φ hiperbola egyenletet lehet csökkenteni kanonikus formában

,

ahol egy nagy és egy kis félig-B tengely.

4.2. polárkoordinátás

Ha a pólus a hangsúly a túlzás, a túlzó és vertex fekszik a kiterjesztése a sarki tengely,

Ha a pólus a hangsúly a hiperbola, és a sarki tengely párhuzamos az egyik aszimptotákkal, a

5. tulajdonságok

  • Optikai tulajdon. Fény forrástól egyik gyújtópontjában egy hiperbola, a második ága a hiperbola tükröződik, hogy a visszavert sugarak metszik folytatódik, a második téma.
  • Minden pont az arány távolságok feküdt a hiperbola ettől a ponttól, hogy összpontosítson a távolság ugyanazon a ponton, direktrixét állandó.
  • A hiperbola van tükörszimmetrikusan tekintetében a valós és a képzetes tengely és a forgási szimmetria átfordítható képest 180 ° középpontja körül a hiperbola.
  • Valamennyi konjugátumból hiperbola hiperbola. amelyre a valós és a képzetes tengely fordított, de a aszimptóta maradnak. Ez megfelel a cseréje a és b egymásra képlet leírja a hiperbola. Kapcsolás hiperbola nem az eredmény a kezdeti elfordulási szögének a hiperbola 90 °; Mindkét hiperbola különböző formában.

A forma hiperbola teljesen határozza meg ekstsentrisitetomε. amely túlzó mindig nagyobb, mint egy. Számszerűen, az excentricitás az aránya fókusztávolság a fél nagytengely. Továbbá, excentricitás lehet meghatározni, mint az arány a távolságok tetszőleges pontja a hiperbola, hogy a fókusz a távolságot ettől a ponttól a megfelelő párhuzamos egyenes a képzetes tengelynek nevezett direktrixét. Ennélfogva, a távolság a központtól a hiperbola direktrix egyenlő a / ε. Az excentricitás fejezhető ki az értékeket a. b. c és θ a következőképpen:

Például, az excentricitást négyzetes hiperbola, amelynek (θ = 45 °. A = a b)

Bizonyos alkalmazások leírására egyfajta túlzó használatát kúpáiiandót k. amely kapcsolatban van az excentricitás a következőképpen:

Nagysága a fokális paraméter kifejezve nagyobb és kisebb részben tengelyt

5.1. asymptote

Két konjugált hiperbola (kék és zöld) van egybeesik aszimptotákkal (piros). Ezek hiperbolák egység és egyenlő szárú, mivel a = b = 1.

Túlzó, saját kanonikus formában adott, egy pár funkciók:

Corner asymptote aránya megtalálható a következőképpen:

.

Az elmozdulás a függőleges tengely

.

korlátozhatja a keresést az azonos hatás. Ennélfogva, amelyek mindegyike egy pár hiperbola aszimptotákkal. aszimptotákkal egyenletek kanonikus alakban:

Ugyanígy sem tudja bizonyítani, hogy a konjugált túlzás:

Ugyanaz a asymptote.

5.2. átmérő

Átmérő túlzás, mint minden kúpszelet egy egyenes, amely átmegy a felezőpontja párhuzamos akkordokat. Minden irányban megfelel egy párhuzamos akkordok konjugátum átmérője. Minden átmérőjét hiperbola áthalad a közepén. Átmérőjének megfelelő akkordok párhuzamos a képzeletbeli tengely valós tengelyére; átmérője megfelel akkordok párhuzamos a valós tengelynek a képzetes tengelynek.

A lejtőn a párhuzamos akkordok, és a sarokban megfelelő átmérő arány együtthatót társult

Ha az átmérő felezi a húrt párhuzamosan b átmérője. b átmérője metszi akkord párhuzamosan az átmérő egy. Ilyen átmérők nevezzük kölcsönösen konjugált. A fő átmérő nevezzük kölcsönösen összekapcsolt és egymásra merőleges átmérők. Mi túlzás csak egy pár nagyobb átmérőjű - a valós és a képzetes tengelynek.

6. érintők és merőlegesek

Mivel a hiperbola egy sima görbe minden pontjában (x0. Y0) hajthatjuk érintő és normális. Az egyenlet az érintő hiperbola adott kanonikus egyenlet a következő formában:

,

vagy ami ugyanaz,

.

Származtatása az egyenlet az érintő

Az egyenlet az érintő vonal egy tetszőleges sík formában van

Canonical egyenlet a hiperbola is képviselteti magát egy pár funkciók

.

Ezután a származék ennek a funkciónak a formája

.

Behelyettesítve ezt az egyenletet az általános egyenlet az érintő, megkapjuk

Az egyenlet a normális, hogy a túlzás is:

.

Származtatása normál

Az egyenlet egy tetszőleges sík normál vonal formájában

.

Canonical egyenlet a hiperbola is képviselteti magát egy pár funkciók

.

Ezután a származék ennek a funkciónak a formája

.

Behelyettesítve ezt az egyenletet az általános egyenlet az normális, megkapjuk

.

7. A görbülete és a görbületi sugara a hiperbola. evolután

Blue mutatja hiperbola. Zöld - evolután a jobb oldali ág a hiperbola (. Evolután a bal ága az ábrán látható piros kör, a görbület a túlzás az ő tetején.)

A görbület a hiperbola a minden pontjában (. X Y) határozzuk meg a kifejezést:

.

Ennek megfelelően, a görbületi sugár:

.

Tehát, a pont koordinátái (a. 0) egyenlő a görbületi sugár

.

Származtatása a képlet a görbületi sugár

A képlet a görbületi sugár a egyenes vonal, egy előre meghatározott parameticheski a formája:

.

Mi használjuk a parametrikus reprezentáció túlzás:

Ezután az első származéka x és y vonatkozásában t szerint adott

,

és a második derivált -

Behelyettesítve ezeket az értékeket az általános képletű a görbület kapjunk

.


A koordináták a görbületi középpontok definiált egy pár egyenletek:

Behelyettesítve az utolsó sor egyenletek x és y értékek a parametrikus reprezentáció túlzás, kapunk egy pár egyenletek meghatározásához egy új görbét, amely a görbületi középpontok túlzás. Ezt a görbét nevezzük evolután túlzás.


8. típusai túlzás

A hiperbola, amely a = b. az úgynevezett egyenlő szárú. Négyzetes hiperbola egy derékszögű koordináta-rendszer által leírt egyenlettel

ahol a gócok a hiperbola találhatók pontot (a, a) és (-a, -a).

8.1. Hiperbola társított egy háromszög

  • hiperbola Enzhabeka - görbe isogonally konjugátum Euler vonal;
  • Kipert hiperbola - görbe isogonally közvetlen konjugátum OK, ahol K - Lemoine pont, és az O - a a kör középpontja a háromszög leírt.

Elliptikus koordinátarendszer

9. koordinátarendszerek

A család a konfokális (konfokális) együtt a család a hiperbolák konfokális ellipszis képez két elliptikus koordinátarendszerben. Ezek hiperbola által megadott egyenlet

.

Vannak gócok egy c távolságra a származás, θ - közötti szög valós tengelye a hiperbola és aszimptota. Minden túlzás a családban ortogonális minden ellipszis, amelynek ugyanaz trükköket. Ortogonalitást demonstráltuk konform átalakítása a Descartes-féle koordináta-rendszer w = z + 1 / z. ahol z = x + iy első derékszögű koordináta-rendszer, és w = u + iv ez a transzformálás után.

Más kétdimenziós derékszögű koordinátarendszerben épül a hiperbolák elő lehet állítani más konform transzformációk. Például, az átalakítás a W = Z ² megjeleníti derékszögű koordinátáit két ortogonális családok hiperbolák.

irodalom

  • Bronstein I. túlzó // Quant. - 1975 - № 3.
  • Encyclopaedia of Mathematics (5 kötet). M. szovjet Encyclopedia 1982.
  • Markushevich AI méltó görbéket // népszerű előadások matematika. - Állami Műszaki Press, 1952 - V. 4.

Az összefoglaló alapja egy cikket az orosz Wikipedia. A szinkronizálás végre 10.07.11 00:58:07
Hasonló összefoglalók: túlzás. Hiperbola (oratórium).
előző ◈ a következő