Abel-csoport
A beállító árnyalattal: A`BELEVA GRU`PPA
Abel-csoport - csoport működését egy raj megfelel a kommutatív törvény. Nevezett Abel (N. Abel), hogy létrehozzák a szerepe ezeknek a csoportoknak az elmélet algebrai megoldhatóság. egyenletek a radikálisok. Általában utal műveleteinek A. használt adalék jelöléssel, t. E. + jel a művelet maga az úgynevezett. Emellett jel 0 semleges elem, az úgynevezett. nulla (ez az úgynevezett multiplikatív jelöléssel. egység).
Példák A. Minden a gyűrűs csoportok - Abelian, különösen, az adalékanyag számok csoportját - Abel. A város lesz mindenféle közvetlen összegek ciklikus. csoportok additív csoport racionális számok Q (amely helyileg ciklikus csoport, vagyis egy csoportot, természetesen generált alcsoportot raj gyűrűs ..), csoportok típusú p ∞ (vagy quasicyclic csoport Zp ∞ ahol p - .. egy tetszőleges prímszám).
Az egyesülési szabadság házakat AG egybeesik a direkt összege. Szabad Abel-csoport egy direkt összege néhány sor végtelen ciklikus. csoportokat. Bármely alcsoport ingyenes AA - AA mentes elemei véges halmaza AA érdekében alcsoport nevezzük. időszakos része A. A hányadosa A által periodicitás. rész torzításmentes. Így minden analitikus geometria - periodikus kiterjesztését. A város segítségével A. torziós. Ez a kiterjesztés nem mindig hasít, t. E. periódusa. rész, általában nem látszanak közvetlen summand. Periodicitás. A. Az, hogy minden elem a raj van hatásköre rögzített p prímszám hívják. egy primer egy p prímszám (p távú csoportot használjuk az általános elmélet a csoportok). Minden periodikus. A város meg lehet oldani, egyedülálló módon, a direkt összege primer csoportok tartozó különböző prímszám.
A legteljesebb leírása A. ismert véges számú generátort. Ez adja meg a fő tétel a Abel-csoport véges számú generátort: minden végesen generált A város egy direkt összege véges számú felbonthatatlan ciklikus. alcsoportok, amelyek közül az egyik része a - vég felé elsődleges rész - végtelen [G. Frobenius (G. Frobenius), Shtikkelberger L. (L. Stickelberger)]. Különösen, a végső A bővült közvetlen összege primer ciklusos. csoportokat. Egy ilyen bővítés, általában nem egyedi, de bármely két bomlási A végesen generált, mint a direkt összege felbonthatatlan ciklikus. csoportok izomorfak és így a végtelen ciklikus. kifejezések és egy készlet primer ciklusos sorrendben. feltételek nem függ a választás a bomlás. Ezeket a számokat nevezzük. invariánsokat A. végesen generált, ők egy teljes rendszer invariáns abban az értelemben, hogy bármely két csoport, amelyre ezek invariánsai egybeesnek izomorfak. Bármely alcsoport A. végesen generált maga egy véges halmaza generátorok.
A. Nem minden város is képviselteti magát a direkt összege (akár végtelen számú) ciklikus. csoportokat. Az elsődleges analitikus geometria van egy szükséges és elégséges feltétele az ilyen expanziós - kritérium Kulikova. Legyen - Elsődleges analitikus geometria egy bizonyos p prímszám-rum. A nulla elem és A csoport neve. végtelen magassága elem egy, amennyiben bármely egész k egyenlet p k X = egy oldható egy, és az elem magassága n, az egyenlet megoldható, ha csak a k ≤ n. Kulikov kritérium: A. elsődleges város felbontható egy direkt összege ciklikus. csoportokban, ha, és csak akkor, ha az unió egy felszálló szekvenciájának alcsoportok, amelyek mindegyike a magassága a elemek korlátos. Bármely alcsoport A. lebomló egy direkt összege ciklikus. alcsoportok maga lebomló egy direkt összege ciklikus. alcsoportok. Irreducibilis (direkt összege) primer csoportok kimerült gyűrűs. Ilyen csoportok és csoportok Zp∞.
Véges elemek g1. gk A. hívták. lineárisan függő ha léteznek egészek n1. nk. nem minden nulla, hogy ha az ilyen számok nem léteznek, akkor ez a készlet az úgynevezett. lineárisan független. A rendszer elemei hívták. lineárisan függő, ha lineárisan függő nek paradicsomi véget annak alrendszer. A város nem periodikus, van egy maximális lineárisan független rendszer. Teljesítmény az összes maximális lineárisan független alrendszerek azonos és megadta. rang (Prüfer) az A. listában a periodicitás. csoport nullának tekintjük. Helyezés A szabad város egybeesik a hatalom a szabad rendszer generátorok.
A. Bármelyik torzításmentes rang I izomorf egy alcsoport az adalékanyag-csoport racionális számok. Van egy teljes leírást az ilyen csoportok nyelvén típusok. Minden eleme A. torziós társul annak jellemzőit - megszámlálható szekvenciából álló, nem-negatív számok, és a szimbólum ∞. Ezeket a szekvenciákat a következő módon. Minden prímszámok vannak számozva növekvő sorrendben p1. p2. pk. és az elem és kiegyenlített szekvenciát a k-adik sor a raj az a szám, SK. Ha az egyenlet egy = PK Sk x van egy megoldás a csoport, valamint az egyenlet Sk = PK + 1 x már van egy megoldás, és érdemes a szimbólum ∞, feltéve, az egyenlet egy = PK S x van egy megoldás minden s. Jellemzői tekinthető egyenértékűnek, ha azok eltérnek az eltérés legfeljebb véges számú helyen, és a szimbólum ∞ mindegyikben áll a földön ugyanazokkal a számokkal. Jellemzői két lineárisan függő egyenértékű elemekkel. Egy ekvivalencia osztály hívják jellemzőit. írja. A. minden torzításmentes rank-on lehetséges az I. típusú, úgynevezett. Ez a fajta csoport, a nem izomorf csoportok megfelelnek a különböző típusú.
A., a torziós-felbontható egy direkt összege rang I nevezett csoportok. ez felbontható. Nem minden alcsoport egy teljesen lebontható csoport teljesen lebontható (de minden közvetlen summand is). A bármely egész szám n van A., a torziós-mentes n rendű, felbonthatatlanok egy direkt összege. A számláló A. A teljes rendszer invariáns nélkül is kialakítható egy torziós.
Elmélet AG származó számelméleti, használják számos modern matematikai. elméletek. Tehát, az elmélet a kettős jellege a végső A megkapta a mély fejlődés a dualitás elmélet lokálisan kompakt topologikus csoportok. Fejlesztési homológ. algebra hagyjuk megoldani számos problémát az elmélet analitikus geometria például. leírni a készlet minden kiterjesztés az egyik csoport a másik. A fejlesztés az elmélet a modulok elválaszthatatlanul kapcsolódik AG modulként a gyűrűre egész számok. Sok eredményei az elmélet analitikus geometria lehet átvinni a modulok esetén több mint egy fő ideális gyűrűt. A viszonylagos egyszerűsége és a tanulmány az analitikus geometria (amely megerősíti, például. Megoldhatóságának elemi elmélete AG) együtt egy meglehetősen változatos kínálat teszik egy állandó forrása a példák számos területén a matematika.
Irod [1] Kurosh A. G. Csoport Theory, 3rd ed. M. 1967 [2] Fushs L. Abel-csoport, 3 ed. Bdpst. 1966 [3] L. Fuchs végtelen Abel-csoport sávban. az angol. t 1, M. 1974 .; [4] Karlansky I. Végtelen Abel-csoportok, Ann Arbor, 1954; [5] Az eredmények a tudomány. Algebra. Topológia. Geometria. 1965 M. 1967 o. 9-44; [6] Az eredmények a tudomány és a technológia. Algebra. Topológia. Geometria, Vol. 10, M., 1972 o. 5-45.
- Matematikai Lexikon. T. 1 (A - D). Ed. Board: I. M. Vinogradov (fejezetek szerk) [et al.] - M. "szovjet Encyclopedia" 1977, 1152 col. illusztrációkkal.