A terület egy forgásfelületté - studopediya
Ha az ív a görbén nem negatív függvény. . körül forog a tengelye Ox, a terület a forgásfelület kiszámítása a képlet. ahol a és b - abscissa elején és végén az ív.
Ha az ív a görbén nem negatív függvény. . Ez forgatja a tengely körül Oy, a terület a forgásfelület kiszámítása a képlet
ahol c és d - abscissa elején és végén az ív.
Ha az ív által meghatározott görbe paraméteres egyenletek. . és. az
Ha az ív megadott polár koordinátákkal. az
Példa. Kiszámoljuk a felülete által képzett forgatás térben tengelye körül a vonal y =. felett helyezkedik szegmens tengely.
Ettől. akkor a képlet megadja az integrál
Azt, hogy a változás a t = x + (1/2), így kapjuk az utolsó integrál:
Az első a jobb oldalon a integrálok teszünk a helyettesítési z = t 2 -:
Kiszámító második integrál a jobb oldalon jelöljük alkatrészek és integrálni, megszerzésének egy egyenletet:
Áttevődik a bal oldalon, és elosztjuk 2, megkapjuk
Alkalmazások A határozott integrál megoldása bizonyos problémák a mechanika és a fizika
Job változó erő. Tekintsük a mozgását egy pont mentén OX tengely változó erő f. helyzetétől függően a pont az x tengely, azaz, erő függvénye x. Ezután A. munka szükséges mozgatni az anyagot pont a pozíció x = a és x = b pozíció képlettel számítottuk ki:
Kiszámításához nyomás uralkodik használja Pascal törvénye. miáltal a folyadék nyomása megegyezik a pályán S. annak területen szorozni a merülési mélység h. A sűrűség ρ és a nehézségi gyorsulás g. azaz
1. A forgatónyomaték és a tömegközéppontjai síkbeli görbék. Ha az ív a görbe által meghatározott y = f (x), a ≤ x ≤ b, és a sűrűsége. A statikus pillanatok ennek az ívnek Mx és My tekintetében Ox és Oy tengely egyenlő
tehetetlenségi nyomatékok IX és Iy képest azonos OX és OY tengelyek által számított képletek
és a koordinátáit a tömegközéppont, és - a képletek
ahol l - a tömeg az ív, vagyis ..
1. példa: megtalálni a statikus pillanatok és tehetetlenségi nyomatékok a OX és OY tengelyek felsővezeték y ívet = CHX 0 ≤ x ≤ 1.
Ha a sűrűség nincs megadva, azt feltételezzük, hogy a görbe az egységes és. Van tehát,
2. példa megtaláljuk a koordinátákat a tömegközéppontja ív X = acost, y = ASINT, található az első negyedévben. Van:
Az alkalmazások gyakran hasznos következő tétel Goulden. A felületi terület körül képződött fekvő tengely síkjában a sík görbe ív az ív és annak forgása nem metszi, az ív hossza a terméket a kerülete által leírt a tömegközéppontja.
Példa 3. Keresse meg a koordinátáit a tömegközéppont a félkör
Mivel a szimmetria. Amikor tengelye körül forogva Ox félkört gömb kapunk, a felülete, amely egyenlő. és a félkör megegyezik a hossza a PA. By 4. tétel van Goulden
Itt van. azaz tömegközéppontja C rendelkezik koordináták C.
2. Fizikai problémák. Egyes alkalmazások a határozott integrál megoldása fizikai problémák illusztrálja az alábbi példák.
4. példa A sebessége egyenes vonalú mozgás a test által kifejezett (m / s). Megtalálja az utat áthaladni a test 5 másodpercig elejétől a mozgás.
Mivel az útnak a test v sebességgel (t) az időintervallum [t1. t2], által kifejezett az integrál
Példa. Találunk határolt területen régió között fekvő tengely és az y = x 3 -x. mint
vonal metszi a tengelyt három pont: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1.
A korlátozott terület között a vonal és a tengely vetített a szegmens. És az intervallumban. y = x 3 - x megy fölött tengelye (azaz, a vonal y = 0, és - a mező alatt a terület ezért számítani a következőképpen :.
Példa. Azt találjuk, a használt földterület, zárt az első és a második tekercs a spirál az Arkhimédész r = a (a> 0), és a vízszintes tengely a szegmens.
Az első viszont a spirál megfelel a változást a szög tartományban 0-tól. és a második - a. Hogy változást az érvelés egy rés, írunk az egyenlet a második tekercs egy spirál formájú. . Ezután a terület lesz a következő képlettel, és üzembe:
Példa. Találunk a mennyiség a test által határolt felülete forradalom y = 4x - 2 x tengely körül (a).
Térfogatának kiszámításához a test forgási alkalmazható képletű
Példa. Számoljuk az ív hosszát y = lncosx található a sorok között, és.
(Vettünk az érték a gyökér. Nem -cosx, mivel cosx> 0-ra. Ívhosszúság
Példa. Kiszámoljuk a területen Q forgási kapott felület forgása által ív a ciklois X = T - sint; y = 1 - költség, mikor. tengely körül.