A kép és a lineáris kernel

A kép és a lineáris kernel. Rang és a hiba a lineáris operátor.

Let - lineáris operátor eljáró vektortér V (komplex vagy valós)

Definíció: A mind az vektorok formájában úgynevezett kép egy, és jelöljük ImA. Így.

Definíció: A készlet minden vektor, amely az úgynevezett a kernel a kezelő A és jelöljük Kera. Így.

Jóváhagyás: a kép és a kernel egy lineáris operátor jelentése altér lineáris tér V.

Bizonyítás: Tény, hogy azért, mert a linearitást, van:

1), ha és szükségtelenül a

és mivel , Ez egy altér V.

Ez egy altér V #

Legyen V - n-dimenziós komplex vagy valós vektortér.

/ Core áll egy null elem /

2) Nulla szolgáltatót, majd a

3) Nézzük a differenciál operátor a térben polinomokként n. majd itt. Látható, hogy mind ezek a példák is igaz:

, ez nem véletlen.

Tétel (az összeg a méretei a képre, és a vonal a kernel):

Legyen - lineáris operátor eljáró lineáris tér V. Ekkor az összeg a méretei a képre, és a kernel az üzemeltető egyenlő dimenziója a lineáris tér, azaz a

A tér V. önkényes alapon. Mivel definíció szerint, tudjuk írni, hogy a lineáris span generált képek sokaságának referencia vektorok és ahol r - maximális száma l.n.z. vektorok a rendszerben. De a koordinátái ezek a vektorok a mátrix oszlopait egy lineáris üzemeltető az alapja ezért.

Tekintsük a kernel a üzemeltető :.

A kiválasztott alapján egyenlőség felel homogén SLAE: amely, mint ismeretes, van (n-R) l.n.z. döntések alkotó SDF. Mivel az ismeretlenek a koordinátákat a rendszer vektorok alkotó Kera. arra a következtetésre jutunk, hogy a homályos (Kera) = n-R. Az eredmény az, hogy

Definíció: A méret a kép az üzemeltető az úgynevezett rangot az üzemeltető, a dimenziója a kernel az üzemeltető az úgynevezett hibának.

Definíció: lineáris operátor úgynevezett nem degenerált, ha egy önkényes alapot (e) a V vektortér A-nak a nonsingular mátrixot.

Következmény: Ha egy - nem degenerált lineáris operátor, akkor a kép egybeesik az egész teret, amelyben az üzemeltető működik.

Bizonyítás: Ha, akkor az előző tétel tudjuk írni. By ingatlan nem degenerált szereplők 40 (később bizonyítani a 12. fejezetben a 7. fejezetet), ha az egyenlőség csak akkor lehetséges, ide. mert Ebből következik, hogy.

Definíció: altér L a tér V hívják invariáns képest lineáris operátor A. Ha.

Tétel (a invariancia a képre, és a vonal a kernel):

A fényképek és a kernel egy lineáris operátor A jelentése altér invariáns képest A.

1) Legyen óta még így is, hogy van, ImA altér invariáns tekintetében A.

2) Legyen. Ezután ss így Kera altér invariáns képest A.

2.Sobstvennye és sajátvektorai lineáris operátor A.

A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor A.

Hagyja, ahol V - n-dimenziós lineáris tér.

Definíció: Az a szám λ - úgynevezett sajátértékei (ev) a lineáris operátor A. Ha igen, milyen. Ugyanakkor elem (vektor) x nevezzük sajátvektor (SV) A.

Itt, ha V - valós vektortér, és ha V - komplex vektortér.

Criterion (megléte sajátértékei a lineáris operátor A):

A λ volt sajátértékei a lineáris operátor A szükséges és elégséges, hogy ez a szám volt, a gyökér a karakterisztikus egyenletének A.

Let - önkényes alapon V. tér - mátrixa A ezen alapon. Akkor kell mindkét oldalára (szükséges és elégséges):

(1 a kritérium létezését nem-triviális megoldások a homogén lineáris rendszerek.)

1) A választás alapja a térben, és írjon a kezelő mátrixban.

2) Összes sajátértékei a gyökerek a karakterisztikus egyenlet.

3) megoldása homogén lineáris rendszerek minden egyes s.z.- I megtalálják a koordinátáit a megfelelő sajátvektor.

Definíció. A készlet minden sajátértéke az üzemeltető és az értéke egy úgynevezett spektrum.

3.Svoystva sajátvektor és sajátérték egy lineáris operátor.

1) Legyen - sajátvektorai lineáris A üzemeltető, megegyező

ev - yu λ. Ezt követően a lineáris kombináció is rv megfelelő azonos sajátértékek - yu λ.

2) Ha - Különböző s.zn-I. lineáris operátor A., ​​majd a megfelelő sajátvektor l.n.z.

Bizonyítás: Bebizonyítjuk indukcióval. Azóta l.n.z. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n vektorok, azaz - l.n.z. Csatlakozz hozzájuk, és megvizsgálja a vektor egyenlet (*).

Alkalmazzuk az üzemeltető a (*). Vagy szerezni. Vonjuk ebből az egyenletből az egyenlet (*). szorozva :.

mert - eltérő és - l.n.z. akkor. Tól (*) azt látjuk, hogy #

Definíció: egy négyzetes mátrix n-edrendű nevezzük átlós, ha rendelkezik a következő formában:

Definíció: Egy lineáris operátor nevezzük diagonalizable ha van alapja a lineáris teret, amelyben a mátrix a lineáris operátor A diagonális.

4.Diagonalizuemost lineáris operátor.

Definíció: egy négyzetes mátrix n-edrendű nevezzük átlós, ha rendelkezik a következő formában:

Definíció: Egy lineáris operátor nevezzük diagonalizable ha van alapja a lineáris teret, amelyben a mátrix a lineáris operátor A diagonális.

1. Tétel: (kritérium diagonalizability lineáris operátor mátrix).

Let - alapján a lineáris tér V. A mátrix egy lineáris szereplő ezen az alapon átlós akkor és csak akkor, ha az alapja vektorok sajátvektorait A. A mátrix alapján sajátvektorok az alábbi diagonális:

Tegyük fel, hogy van valami alapja. Ezután a meghatározása lineáris operátor mátrix felírható:

Hagyja, hogy a vizsgálat alapja magában a sajátvektorok. Aztán.

2. Tétel: (elégséges feltétele diagonalizability lineáris operátor mátrix).

Legyen dimV = n. ha a lineáris üzemeltető n különböző sajátértékei Ezután van egy alapja, amelyekben a mátrix Ae üzemeltető A jelentése diagonális, azzal alapján a lineáris térben V áll SW-B.

Bizonyítás: Legyen - sajátvektorai megfelelő sajátértékei a különböző pár, majd a megfelelő szállást 2 alapot (mivel dimV = N) 1. Tétel (kritérium) Ae mátrixa Egy ezen alapon diagonális. #

Megjegyzés 1: Forduljon a tétel hamis. Példaként tekintsük a személyazonosság kezelő, a mátrix Ae az üzemeltető alapján sajátvektorok diagonális, de ev-i jelentése azonos, azaz a Ezek páronként különböző.

Következmény: Ha minden a gyökerek karakterisztikus egyenletének az A üzemeltető a különböznek, akkor van egy nem-szinguláris mátrix úgy, hogy a mátrix diagonális.

Bizonyítás: A bizonyítás következik képletű lineáris operátor transzformációs mátrix az átmenetet a kiindulási értékhez képest (e) alapján (e „), amely egy. vektorok és így a mátrix diagonális.

5.Bilineynye formában a lineáris térben. Szimmetrikus és ronthatják-szimmetrikus bilineáris formák.

Legyen V - valós lineáris tér.

Meghatározás: A bilineáris forma egy numerikus függvény A (x, y) +2 vektor érvek x és y (), lineáris, mint az 1. és 2. az az érv, és kielégíti a következő feltételeket:

Legyen f (x) és g (y) - a két lineáris formákat, azaz Lineáris operátorok feltérképezése tér V numerikus sor. Ekkor A (x, y) = f (x) g (y) - bilineáris formában.

Skaláris származékai 2 vektorok:

akkor felírható - bilineáris forma.

Most szerezni azt a kifejezést bilineáris formák általánosságban, de - a alapján az V., majd

Definíció: Egy mátrix az úgynevezett mátrix, ahol Ae a bilineáris formában A (x, y) a bázis. Ennek elemei mátrix nevezzük az együtthatók a bilineáris formában az adott alapon.

Meghatározás: A bilineáris formában A (x, y) az úgynevezett szimmetrikus (ferde), ha a.

1. megjegyzés: Bármilyen szimmetrikus bilineáris forma A (x, y) egyedileg határozzuk meg annak értékeit egybeeső érveket. Tény:

2. megjegyzés: Ha egy (x, y) - szimmetrikus bilineáris formában, ez is Ae mátrix szimmetrikus bármilyen alapon. Tény, hogy

Következmény. Képviselet hívják perspektivikus képe bilineáris formában A (x, y) az n - dimenziós lineáris teret.

6.Matritsa bilineáris forma és átalakulási az átmenet során egy új alapot.

Definíció: Egy mátrix az úgynevezett mátrix, ahol Ae a bilineáris formában A (x, y) a bázis. Ennek elemei mátrix nevezzük az együtthatók a bilineáris formában az adott alapon.

Kapcsolódó dokumentumok:

összege terek egyértelmű. Lineynyeoperatory. Core és obrazlineynogooperatora. Rang és defektlineynogooperatora. A tétel az összeg a rang és a hiba. szereplő alapján mátrixban. A Matrix.

és a kép. és yadrooperatora lineáris altér. Ebben a dimenzióban az úgynevezett obrazaoperatora rangomoperatora és a címkét. A dimenziója yadraoperatora nevű defektomoperatora és a címkét.

lineynogooperatora. Kommunikációs szereplő mátrixok különböző bázisok. Műveletek lineynymioperatorami. Inverze. feltétele a létezés. A fényképek és a yadrolineynogooperatora. Tételek a rangot és a defektelineynogooperatora.

Core és obrazlineynogooperatora. Űrfelvételek és a nukleáris helyet. Rang és defektlineynogooperatora. A tétel az összeg a rangot és defektalineynogooperatora. Műveletek lineáris leképezések. A tér lineáris leképezések.

Ez kapcsolódik a rendszerek műszaki, technológiai folyamatok és a törvény. " Tanulás a munka az üzemben. egyéni hibák (fizikai. Csak asszisztens sorban vezetők. PVC a „mag”, „szerkezet”. táblázat rang „I. Péter;.

Kapcsolódó cikkek