4. A módszer a mesterséges bázisok
4 Módszer mesterséges alapján 72
4.1 kétfokozatú szimplex módszer 72
4.2 példa a probléma megoldásának egy mesterséges bázist 76
4.3 Kérdések és gyakorolja 82
Amint azt a 3. szakaszban alkalmazzák a szimplex módszer algoritmus, meg kell kezdeni megoldása lineáris programozási probléma néhány támogató programja. Ez a terv lehetne építeni, a feladat kell írni a kanonikus formában nem negatív konstans kifejezések és van egy teljes sor alapvető változókat.
Bármely lineáris programozási feladat lehet csökkenteni a kanonikus formában. Ha a szabad tagjai között negatív, akkor, megszorozzuk mindkét oldalán a megfelelő korlátozások -1, könnyű elérni a nem-negativitás minden szabad tag. Azonban nem minden problémát tartalmaz egy kész alapon. Ha nem, akkor a módszerek mesterséges alapon. Az ilyen technikák sokoldalúságot szimplex módszer, azaz a képes megoldani a segítségével bármely lineáris programozási feladat.
Tekintsük az egyik módosított eljárásának mesterséges bázisok - kétfázisú szimplex módszer.
4.1 A kétlépcsős szimplex módszer
Hagyja, hogy a lineáris programozási feladat kanonikus formában nem negatív konstans kifejezések nem tartalmazza a teljes készlet alapváltozó:
Ebben az esetben ahhoz, hogy alkalmazni kell azt a szimplex módszer, a módszer a mesterséges alapon. Írja m nemnegatív változók y1. v2. um. egy-egy egyenletet. Ezek a változók nazyvayutiskusstvennymi. és sostavlyayutrasshirennuyu feladat. amely az alábbi formában *:
Ez a feladat egység m oszlopból mesterséges változókat alkotó mesterséges alapon.
Lemma. A probléma (19) mindig oldható.
Bizonyítás. Egyértelmű, hogy a tartományban elfogadható tervek (CCT) ezt a problémát nem lehet üres: van legalább egy érvényes terv - az alapvető tervet, amely megfelel az eredeti alapján. Tény, hogy a terv X = (x1, x2. ..., xn. Y1. Y2. ..., ym) = (0, 0, ..., 0, b1, b2. ..., bm) ODP probléma (19).
A célfüggvény nem lehet korlátozni, mivel nem lehet kevesebb, mint nulla (ez az összeg nem negatív változók).
A tétel a tulajdonságok optimális terjeszkedési terv célkitűzései:
Ie Ha optimális kiterjesztett probléma pozitív (azaz egyenértékű azzal, hogy legalább egy dummy változót tekintve U * pozitív), akkor az eredeti probléma EIR üres.
Más szóval, ha U * az összes mesterséges változók értéke 0, akkor a terv a X (0). alkotja alkatrészek xj * U * tervet. Ez érvényes az eredeti probléma.
Tétel bizonyítása első rész által szállított ellentmondás. Tegyük fel, hogy létezik yi> 0, és az EIR probléma (18) nem üres, azaz ott X` = terv (x1 `. xn`) ODP probléma (18). Tekintsük U` = terv (x1 `. Xn`,
Ez utóbbi rendszer igaz, mivel X`ODP probléma (18).
A terv U` célfüggvény a probléma (19) Z` = 0 (nulla összege mesterséges változók). Azonban, a hipotézis, az optimális feladat (19) pozitív, vagyis Több Z`. Mivel a probléma (19) legalábbis U * terv nem lehet optimális, ha van egy érvényes tervet, amelyben a célfüggvény érték kisebb. Van egy ellentmondás, az első része a tétel.
A második rész a tétel bizonyítása közvetlenül helyett U * U * = (x1 *. Xn *. 0. 0) a feladat restrikciós (19). Mivel ez a terv érvényes probléma (19), a rendszer egyenleteket fordult valódi egyenlőség. Ezek egybeesnek pontosan az egyenleteket (18) helyettesítve benne tervezni X (0) = (x1 * xn *.) (És a nem-negativitás megszorítások is teljesülnek):
A teljesítmény korlátai (19) követi a végrehajtását megszorítások a probléma (18): ezért a terv X (0) - érvényes a probléma (18).
Hogy mit jelent a fenti tétel az, hogy a probléma megoldása érdekében a lineáris programozás csak akkor lehetséges, ha sikerül megszabadulni az összes mesterséges változók *. Tény, hogy ezek a mesterséges változókat az építőiparban a kiterjesztett feladatok kerültek „préselt” között a bal és jobb oldalán az egyenleteket. Tény, hogy a bal oldali részén a korlátozások voltak az egyenlő jogok, nincs különbség ne legyen közöttük. És a probléma megoldódik, ha a „gap” - egy mesterséges változó - képes lesz semmissé összes korlátozást.
Amikor a mesterséges változókat nullára csökken (származtatott alap), akkor lehet, kizárják. A kapott feladat más lesz a kezdeti célfüggvény (az átalakított a korlátozó rendszer kibővült feladatokat alapvetően egy transzformált rendszer korlátai az eredeti probléma). Ezért csak akkor megy egy másik célfüggvény - probléma (18).
kétlépéses algoritmus szimplex módszer épül alapján ez a tétel. amely a következő:
1. szakasz. Beépített hosszabb feladat, amelyet rendszerint megoldotta a szimplex módszer.
2. szakasz. Ha a kiterjesztett probléma optimális pozitív következtetést oidhatatlanságára az eredeti probléma, mint a MTO = . Ha az érték nulla, akkor az eljárást a döntést a szimplex módszerrel az eredeti probléma, mivel a támogatási program, a megfelelő változók értékét xj *.
Hivatkozva táblázat simplex ez az átmenet azt jelenti, hogy megváltozik Sat oszlop szerinti érték a célfüggvény együtthatóit az eredeti probléma, és újra kell számolni kriteriális sor: kiszámítja a szorzatok összege elemek oszlopok jobb oldalán a táblázat oszlop simplex elemek Szo és minden oszlopot kivéve B, kivonjuk az ezen összegek Cj.
tanácsos betartani az alábbi ajánlásokat problémák megoldására:
a) Ha az eredeti probléma egyetlen oszlopra egy vagy több változó (azaz a részét a bázis), ezt a tényt fel lehet használni az építőiparban a kiterjesztett probléma. Nevezetesen, a mesterséges alapján nem teljesen be, csak hiányzik az alapvető változókat. Ebben az esetben, az építőiparban a célfüggvény minimális összege a kiterjesztett probléma csak mesterséges változókat.
b) válassza ki a felbontást az oszlop így célszerű végezni oly módon, hogy az első bázis ki a mesterséges változók (ha lehetséges).
c) átalakítása változók megfelelő ezeket az oszlopokat simplex tábla nem szükséges, miután a kimeneti változókat a mesterséges bázis.