Matematikai logika
A formális axiomatikus elmélet akkor tekinthető határozottnak, ha teljesülnek a következő feltételek:
1. Az elmélet nyelve.
2. A képlet fogalmát ebben az elméletben definiáljuk.
116
A matematikai logika előadása
3. Néhány képletet, az úgynevezett axiómákat különítenek el.
4. Meghatározzák a következtetés szabályait ebben az elméletben.
A matematikai elméletek között megkülönböztethetők az elsőrendű elméletek. A magasabb rendű elméletektől különböznek, mivel nem fogadják el azokat a predikátumokat, amelyek más predikátumokkal és funkcióikkal rendelkeznek az érveik lehetséges értékeként. Ezenkívül nem engedélyezik mennyiségi műveletek predikátumokon vagy funkciókon.
Az elsőrendű elméletek elegendőek a legismertebb matematikai elméletek kifejtésére.
Matematikai logikánk során csak az elsőrendű matematikai elméleteket tartjuk magunkra, amelyeket néha elemi elméleteknek nevezünk.
§ 1. Az elsőrendű nyelv
Fogalommeghatározás 1. Az A betűk bármelyik nem üres véges szimbólumkészlet. Az ábécé szimbólumait betűknek hívják.
Meghatározás 2. A betűvel rendelkező A betű az A betű betűinek bármely véges sorozata. Egy üres betűkészletet üres szónak neveznek, és az A. betűvel jelöltük.
Azt fogjuk mondani, hogy két speciális szó aha2. a és b, b2. A bk ábécé A egyenlő és írási axár. an = j2. bh
ha n = k és a \ =. U2 =?> 2> ··· an - bn · Ebben az esetben a számot
Az n szót a szó hossza.
Legyen T egy elmélet. Az A (T)
ez az elmélet ábécéje. Az E
az elmélet T (T) kifejezéseinek halmazait az elmélet T. nyelvének nevezik.
Az elsõrendû nyelvek elsõrendû elméleteket szolgálnak fel. Az első rend T-beli elméletének ábécéje lényegében ugyanazokat a szimbólumokat tartalmazza, amelyeket bevezettek
MATEMATIKAI ELMÉLETEK
korábban. Ezek a logikai műveletek szimbólumai , v,
a mennyiségi műveletek szimbólumai V, 3; a segédszimbólumok zárójelek, vesszők; az "ajta-hely" predikátum betűk számát (n, j> l), ahol a szuperscript
jelzi a helyek számát, és az alsó számot - a predikátum betű számát; véges (esetleg üres) vagy számozható
funkcionális betűkészlet l), ahol a felső,
Az index a függvénybe lépő változók számát jelöli, az alsó pedig a funkcionális betű számát jelzi; véges (esetleg üres) vagy számítható objektum konstansok af (i> l).
Különösen a funkcionális betű a logikai műveletek lánca.
A predikátum betűkészletet egy funkcionális betűkkel és konstansokkal együtt az adott elmélet nyelvének aláírásaként és sajátos részének nevezik.
Így az elsőrendű T-elméletben hiányozhatnak a funkcionális betűk és objektum-állandók egy része vagy mindegyike, valamint néhány, de nem minden predikátum betű.
Az első rend különböző elméletei különböznek egymástól az ábécébeli betűk összetételében.
2. § Fogalmak és képletek
A T elmélet további leírása mindenekelőtt a kifejezés és a képlet induktív meghatározását igényli. meleg források
és a képletek az E (T) készlet két osztályának szavai.
Fogalom meghatározása. 1. A tárgyváltozó és a tárgyi állandó kifejezések.
2. Ha T1, r2. rn a kifejezések és A az i-local szimbóluma
majd A-1
3. Nincsenek más kifejezések, mint az 1. és a 2. pontban meghatározottak.
A természetes értelmezés szerint a kifejezés egy objektum neve. A változókon és a témán kívül
118
A matematikai logika előadása
a konstansok, a kifejezések a változókból és a tárgyi állandókból képzett láncok operációs szimbólumok segítségével, mivel az implicit értelmezésben valamilyen funkció értékét értelmezik.
A képlet meghatározása. 1. Ha A a "-dimenziós kapcsolat (predikátum vagy függvény) szimbóluma, és T1, r2. gn -
kifejezések, akkor A (r \, r2, rn) egy képlet. Különösen, ha A =
predikátum betű ", akkor A" (r \, r2, rn) elemi képlet.
2. Ha A és B képletek, akkor A B, AvB, A -> B és A képletek.
3. Ha A képlet, és y egy olyan objektumváltozó, amely szabadon belép A-be vagy az A-ban nem található
a VyA kifejezéstől. A ZUA képletek. Ebben az esetben az A-t a kvantáló tartományának nevezzük.
4. Az (1) - (3) bekezdésben meghatározottakon kívül nincs más formula.
3. § Logikai és speciális axiómák.
Az elsőrendű T elmélet axiómái két osztályra oszthatók: logikai axiómák és speciális (nem logikai vagy megfelelő axiómák).
Logikai axiómák. Bármi legyen is a T elmélet A, B és C képletében, az alábbi képletek az elmélet T. logikai axiómái.
4) VXiA (Xi) -> A (f), ahol A (xj) a T elmélet képlete, t pedig T (T) szabadsága A (Xi) -ben. Ne feledje, hogy t egyezik az x-vel. majd megérkezünk a V ^ A (Xi) A (x;) axiómára;
Előző 33 34 35 36 37 38. 51 >> Következő