Foglalkozás integrált kalkuláció meghatározatlan integrál és annak geometriai jelentése
Határozatlan integrál és geometriai jelentése. Egy meghatározatlan integrál alapvető tulajdonságai.
Alapvető módszerek meghatározatlan integráció integrálásához.
Egy meghatározott integrál és geometriai jelentése.
A Newton-Leibniz képlet. Egy meghatározott integrál kiszámításának módszerei.
Ha ismeri a függvény deriváltját vagy differenciálását, megtalálja a funkciót (visszaállítja a funkciót). Ez a cselekvés, a differenciálás inverze, az integrációnak nevezik.
Egy adott függvényre vonatkozó primitív függvény olyan függvény, amelynek deriváltja egy adott függvénynek felel meg;
Ehhez a funkcióhoz a primitív funkciók számtalan; a funkciók bármelyike szintén antidivizáló.
Minden egyes antiderivácium gyűjteményét egy adott függvénynek nevezik annak a szimbólumnak nevezett, határozatlan integrálnak:
az integrand, a függvény az integrand.
Egy meghatározatlan integrál geometriai jelentése. Geometrikusan a határozatlan integrál az integrális görbék családja a síkban, melyet a függvény tengelye mentén párhuzamos transzferrel nyerünk (3.
A meghatározatlan integrál alapvető tulajdonságai
Tulajdonság 1. A meghatározatlan integrál származéka egyenlő az integranddal:
Tulajdonság 2. A határozatlan integrál különbsége egyenlő az integranddal:
Tulajdonság 3. Egy függvény differenciális egysége egyenlő ezzel a funkcióval plusz const:
Tulajdonság 4. Az integrál linearitása.
Az alapvető integrálok táblázata
Az integráció alapvető módszerei
A közvetlen integráció egy olyan eljárás, amely az integrand azonos átalakulásain alapul, valamint a határozatlan integrált és asztali integrálok alapvető tulajdonságait. Az integrándon következő transzformációi leggyakrabban használatosak:
a számláló felosztása a nevező által kifejezés szerint;
a csökkentett szorzási képletek alkalmazása;
trigonometriai identitás alkalmazása.
Egy változó (helyettesítési módszer) helyettesítése egy olyan módszer, amely egy új változó bevezetését jelenti azzal a céllal, hogy ezt az integráltat táblázatos formává alakítsa. Ezt a módszert leggyakrabban akkor használják, ha az integrand tartalmaz egy összetett függvényt, akkor a közbülső argumentumot új változóként kell kijelölni. Ezután a következőket kell tennie:
találja meg az új változó különbségét;
írja le az előző integrált értéket, csak a változót használva, ha a helyettesí tést helyesen végezték el, akkor a kapott integráltnak táblázatosnak kell lennie;
az integrálok táblázata segítségével írja le az integrand megoldását;
Fordítsa el a helyettesítést a változó helyére.
Az egyes részek integrálásának módszere a következő képlet alkalmazásával jár:
Ezt a módszert abban az esetben használjuk, ha az integrál egyszerűbb, mint megoldani. Ez a módszer általában szabályozza az alak integrálását, ahol polinomiális, és az alábbi funkciók egyike: ,,,,,,.
Vegyük figyelembe az intervallumban meghatározott függvényt; 4. Végezze el az 5 műveletet.
1. Az intervallumot pontokkal osztjuk részekre önkényesen. Jelöljük a részleges szakaszok legnagyobb hosszát d-vel, a fragmentáció rangját hívjuk.
2. Minden egyes részszakaszban tetszőleges pontot vesz fel, és számolja ki a benne lévő funkció értékét.
3. Tegyük össze a terméket
4. Összegyűjtjük az összeget. Ezt az összeget nevezzük integrált összegnek vagy Riemann összegnek.
5. A zúzás megtörése (a zúzási pontok számának növekedése miatt), és a zúzási fokozat nulla () értékre állítása. (a töredezettségszám növelésével megbizonyosodunk arról, hogy a részszakaszok hossza csökken és nulla), megtaláljuk az integrált összegek sorának határát
Ha ez a korlát létezik, nem függ a töredezettség módjától és a pontok megválasztásától, akkor a függvény definíciója az intervallum fölött van, és a következőképpen jelöljük:.
Egy meghatározott integrál geometriai jelentése. Tegyük fel, hogy a függvény folyamatos és pozitív az intervallumon. Tekintsük az ABCD görbületi trapéz alakot (4. Az integrált összeg adja meg a téglalapok területeinek összegét bázisokkal és magasságokkal. Az ABCD görbületi trapéz körzetének közelítő értéke lehet. azaz
Ráadásul ez az egyenlet minél pontosabb, annál kisebb a fragmentáció, és a határon n → + ∞ és λ → 0 kapunk:
Ez egy meghatározott integrál geometriai jelentése.
Egy meghatározott integrál alapvető tulajdonságai
Tulajdonság 1. Az egyenlő határok nélküli definíció egyenlő nullával.
Tulajdonság 2. Ha az integráció korlátai egymással kicserélődnek, a végleges integrált változások az ellenkezőjére utalnak.
Tulajdonság 3. Az integrál linearitása.
A 4. tulajdonság esetén. Bármelyik szám esetén, ha a függvény integrálható az egyes intervallumokban (5. ábra), akkor:
Tétel. Ha a függvény egy intervallumon folyamatos, akkor a függvény meghatározott intervalluma az intervallumon belül megegyezik a függvény egyik antiderivatív értékének különbségével az integráció felső és alsó határain, azaz
Ez a képlet csökkenti egyes integrálok meghatározását az indefinite integrálok meghatározásához. A különbséget az antiderivatív növekménynek nevezzük és jelöljük.
Vegyük fontolóra az egyes integrálszámítás alapvető módjait: a változók változását (helyettesítés) és az egyes részek integrálását.
Helyettesítés (változó cseréje) egy bizonyos integrálissá - a következő műveleteket kell elvégezni:
írjon be egy új változót;
találja meg az új változó különbségét;
számítsa ki az integrációs korlátok új értékeit:
írja le az előző integrált értéket, csak a változót és az új u határértékeket használja;
az integrál táblázatot használva írja le a megoldást a kapott integrandra;
a Newton-Leibniz-formula segítségével kiszámíthatja egy meghatározott integrál értékét.
Megjegyzés. Egyes integrálok cseréjével történő kiszámításakor nem szükséges visszatérni az eredeti argumentumhoz.
2. A részleges integráció egy meghatározott integrációban csökkenti a következő képlet alkalmazását:
Példák a problémamegoldásra
Tevékenység 1. Keresse meg a meghatározatlan integrált elemet a közvetlen integrációs módszerrel.
1. Határozatlan integrált tulajdonság használatával az integrálódás állandó tényezőjévé tesszük. Ezután elvégezzük az elemi matematikai átalakulást, csökkentjük az integrandot egy power-law formához:
2. feladat: Keresse meg a meghatározatlan integrált változót a változócsere módszerrel.
1. Ezután változást váltunk. Az eredeti integrálformát az alábbi formában kapja:
Így egy táblázatos formának egy meghatározatlan integrálját kaptuk: egy teljesítményfüggvény. A hatalomfüggvény határozatlan integráljának megállapítására vonatkozó szabály alapján a következőket találjuk:
Fordított helyettesítéssel kapjuk a végső választ:
3. feladat: Keresse meg a meghatározatlan integrált elemet az integráció módszerével.
1. Bemutatjuk a következő jelölést:
Ezután az első kifejezés megkülönböztetésével és a második integrálásával:
Most az alkatrész-beillesztés módszerének képletében helyettesítjük az általunk bevezetett jelölést, és megkapjuk:
Hozzárendelés 4. Számítsa ki egy meghatározott integrált értéket.
. A megoldás. A Newton-Leibniz formula szerint:
. A megoldás. A Newton-Leibniz formula szerint:
. A megoldás. A definíciós integrál és a Newton-Leibniz képlet tulajdonságain alapuló:
A független döntéshozatali feladatok
A bizonytalan integrálok megoldása:
Fő oktatási program
4 Egy valós változó funkcióinak integrált számítása 9. Határozatlan integrál. tulajdonságait. A funkciók főbb osztályainak integrálása. Határozatlan integrál. A nem definiált integrál tulajdonságai. Táblázat alap.
4 Bizonytalan integrál A primitív és a határozatlan integrál. Egy meghatározatlan integrál alapvető tulajdonságai. Isoquanta Integral. Integrált görbe Integrált összeg - -. geometriai jelentés Integrált számítás Integrált.
(laboratóriumi és gyakorlati foglalkozás) 2 2. Először tetszik. Bizonytalan integrált 1. Primitív. Bizonytalan integrál és tulajdonságai. Az alapvető integrálok táblázata. Az integráció fő módszerei: Összefoglalva.
gyakorlati képzés. és geometriai jelentését. az integrál kalkulus alapfogalma egy meghatározatlan integrál fogalma. határozatlan integrál • A nem definiált integrál alapvető tulajdonságai • Használja az alapvető, nem definiált táblázatokat.
alapvető törvényeket. Integrált kalkulus egy változó függvényében. Bizonytalan integrál és tulajdonságai. integrál és geometriai jelentése. Az integrál. koordinátákat. Határozatlan integrál és. és gyakorlati feladatokat. "Petrushko IM