Optimális érzékelőeszköz szűrők
Optimális lineáris szűrők széles körben használják kimutatására és diszkrimináció a determinisztikus jelek, ahol a optimalitási kritériumként jellemzi ezeket a szűrőket, hogy megkapjuk a szűrő kimenetére a lehető legnagyobb arányban csúcs jelértékű effektív értékének a zaj. A kezelés célja tehát nem reprodukáló hullámforma, ami feltételezhetően ismert és legmegbízhatóbb rögzítése csak a jelenléte vagy hiánya a vett jel hinta.
Találunk egy kifejezés a komplex frekvencia átvitel az optimális szűrő [5]. Tegyük fel, hogy a lineáris szűrő bemenet a komplex frekvenciaátvitel K (j w) befolyásolja a mennyiségét teljesen ismert jelet S (t) és a zaj n (t), amely egy széles értelemben stacionárius sztochasztikus folyamat egy ismert spektrális sűrűség Sn (w) [4]:
Jelöljük a hasznos jelet és az interferenciát a szűrő kimenetén sB (t) és nB (t) keresztül. Ismeretes, hogy ha egy komplex K (j w) frekvenciaválaszral rendelkező lineáris rendszer bemenete egy komplex amplitúdó spektrummal rendelkező s (t) jel hatására van hatással
akkor a rendszer kimenetén a jel komplex spektrumát a Ф (j w) K (j w) termék határozza meg, és a kimeneti jel - a
A szűrő kimenetén a zaj spektrális sűrűségét Sn () | K (j) | kifejezéssel határozzuk meg 2. és varianciája
Az (1.1) és (1.2) képletek alapján a szűrő kimenetén egy bizonyos idő alatt a jel-zaj viszony expresszióját kapjuk t0:
Szükséges olyan K (j) függvényt találni, amelyre a (1.3) kifejezés egy bizonyos időpontban t0 értéket ér el. A probléma megoldásának egyik módja a Schwarz-Bunyakovskii egyenlőtlenség alkalmazása. Ismeretes, hogy két tetszőleges komplex függvény f (x) és g (x)
és az egyenlőség csak akkor érvényes, ha g (x) = c0f (x), ahol c0 állandó; f * (x) egy komplex konjugált függvény f (x).
A változó (1.4) kifejezést írjuk meg. formájában
Ebből következik, hogy a jel-zaj viszony maximális értéke
Az (1.5) szerint ez az érték csak akkor érhető el, ha feltétel
ahol c egy bizonyos állandó; t0 a szűrő kimenetén a legmagasabb jel-zaj aránynak megfelelő idő. Így az optimális lineáris szűrő összetett frekvenciaválaszát az (1.8) képlet határozza meg, és a legnagyobb interferencia-jel arányt az (1.7) kifejezéssel fejezzük ki. Változó jel spektruma F (j) és interferencia Sn () általános képletben (1.7) is bizonyos további feltételeket (például konstans energia vagy a jelerősség, stb), kivetett rendszert, hogy megtalálják a legjobb formája a jel spektrum (amely maximalizálja Q ) és a legrosszabb interferencia spektrális sűrűség (ahol Q minimális).
Egyes készülékeknél például olyan alkalmazásokra van szükség, amelyek meghatározzák a pulzus megjelenésének pillanatát, szűrőket alkalmaznak, amelyek biztosítják a jelerősség lehető legnagyobb arányának elérését az interferencia effektív értékéhez. Az ilyen szűrők optimálisnak mondhatók a jel meredekségében. Az ilyen szűrők komplex frekvenciaválaszának meghatározásához figyelembe kell vennünk az időszármazékot a s (t) jel helyett. Ebben az esetben a szűrő komplex frekvenciaválaszát, amely optimális a jel lejtőjén, a következő:
ahol Φ1 * (j w) a bemeneti jel derivatív spektrumának komplex konjugált értéke; c1 egy állandó. A jel meredekségének lehető legnagyobb aránya az interferencia gyökér-négyzetértékéhez viszonyítva
A jel származtatott Fourier-transzformációjának ismert relációját használva:
Eddig az interferenciára n (t) nincs korlátozás, kivéve a tág értelemben vett állandósultságot. Vizsgáljuk meg az interferenciát Gauss fehér zaj formájában. Egy olyan lineáris szűrő, amelynek kimenetén a jel-zaj viszony maximális lehetséges csúcsértékét akkor kapjuk meg, ha egy teljesen ismert jelet fogadunk Gaussian fehér zaj hátterén, a megfelelő szűrőt nevezzük. Találjuk meg az illesztett szűrő komplex frekvenciaválaszának kifejezését. Ebből a célból a következőt állítjuk be: A (1.7) és az (1.8) kifejezést a megfelelő űrlapot veszi fel:
ahol k egy állandó, amely a szűrő átviteli együtthatóját jellemzi; Es - jelenergia:
Írjuk le a bemeneti jel spektrumát és a szűrő összetett frekvenciaválaszát a formában
Itt js (w) a jel fázis-spektruma, és j (w) a szűrő fázisfrekvenciás jellemzője.
Ezután az illesztett szűrő amplitúdófrekvencia és fázisfrekvenciás jellemzői kifejezéssel rendelkeznek
Úgy látszik, hogy az amplitúdó-frekvencia jelleggörbe (AFC) az illesztett szűrő arányos az amplitúdó a bemeneti jel spektrum (AFC „illesztett” szűrő a jel spektrumának), és fázis-frekvencia jelleggörbe (PFC) összegével egyenlő a fázis-frekvencia spektruma a jel vett ellenkező előjelűek, és a fázis késleltetési spektrum ( - wt0).
A szűrő frekvenciaválaszának alakja egybeesik a jel amplitúdóspektrumával, biztosítja a jelspektrum legintenzívebb szakaszainak legjobb elosztását. A szűrő a spektrum részeit viszonylag alacsony spektrális komponensekkel csillapítja; különben is velük együtt zajos lenne a zaj. A szűrő kimenetén lévő jel alakja torzul. Ez azonban nem lényeges, mivel a szűrő feladata ebben az esetben nem a bemeneti jel pontos reprodukálása, hanem a kimenő jel legnagyobb csúcsa a zaj hátteréhez viszonyítva. E tekintetben alapvető szerepet játszik a j (w) szűrő fázisfrekvenciás jellemzője.
A (1.9) kifejezést az (1.1) képletre helyettesítve az illesztett szűrő kimenetén a hasznos jel kifejezést kapjuk:
Ezért látható, hogy a szűrő kimenetén lévő jelet csak a bemeneti jel amplitúdó spektruma határozza meg, és nem függ a fázis spektrumától. Ez utóbbi annak a ténynek köszönhető, hogy a js (w) bemeneti jel spektrális komponenseinek kölcsönös fáziseltolódásait a PFC szűrő kompenzálja. Ezért az összes harmonikus komponens egyszerre eléri az amplitúdó értékeket a t = t0 időpontban, és összecsukva a kimeneti jel csúcsát adja:
Ha a szűrő szűrője nem kompenzálta a bemeneti jel spektrális összetevőinek fáziseltolódását, akkor a harmonikus komponensek maximális értéke nem egyezne meg időben, ami a kimeneti jel csúcsának csökkenéséhez vagy töredezettségéhez vezetne.
Meg kell jegyeznünk, hogy az illesztett szűrő (1.9) akkor is használható, amikor egy teljesen ismert jelet fogadunk az álló (z) Sn (w) spektrális sűrűségű stacionárius zaj ellen. Ehhez hivatalosan elegendő az x (t) vett vett oszcillációt egy további lineáris szűrővel átugrani, amely az interferenciát n (t) fehér zajvá alakítja. A szűrő szűrője bármilyen lehet, és egy ilyen kiegészítő "fehérítő" szűrőnek a formája kell legyen
Az obelichny szűrő kimeneténél a zaj fehér sáv lesz állandó spektrális sűrűséggel, és a komplex jel spektruma
Ezt követően használhatja a korábban kapott képleteket. Az (1.9) kifejezéssel összhangban a megfelelő illesztett szűrő komplex frekvenciaválaszát
Az optimális szűrő két szűrő soros kapcsolata: ígéretes és következetes szűrő. A komplex frekvenciaválasz természetesen egybeesik a (1.8) relációval.
A megengedett a választás szabadságát a fázisjellemzőkkel fehérítő szűrő, akkor próbálja kiválasztani úgy, hogy az optimális szűrő fizikailag realizálható. Ha a zaj spektrális sűrűség Sn (w) lehet közelíteni racionális a frekvencia függvényében (a gyakorlatban Az általánosság elvesztése nélkül), hogy megkapjuk fizikailag realizálható optimális lineáris szűrő használata bomlás Sn (w) a konjugált komplex tényezők. Tekintsünk egy példát.
Hagyja, hogy a zaj Gauss-zaj legyen, amelynek spektrális sűrűsége Sn (w) = 2aD / (a 2 + w 2), ahol D a zajváltozás. Aztán az (1.10) képlet szerint van
Így megkapjuk az obelichnyh szűrők két egyenértékű változatát:
Lássuk az illesztett szűrő impulzusválaszát:
Figyelembe véve a bemeneti jel kifejezését
Következésképpen az illesztett szűrő impulzusválaszát teljes mértékben a hullámforma határozza meg ("illeszkedik" a jelhez). Az 1. ábrán. Az 1.1. Ábrán az u időtartamú s (t) impulzusjel látható. amely t = 0 időpontban jelent meg.
Nyilvánvaló, hogy az s (t0 + t) függvény egy korábban t0 jelzéssel jelenik meg, mint az s (t) jel. Az s (t0-t) függvény egy s (t0 + t) függvény tükörképe az ordinát tengelyhez viszonyítva. Az s (t0-t) függvény szorzata a k koefficienssel. megkapjuk az illesztett szűrő impulzusválaszát.