Időszakos és nem időszakos frakciók

Az a tény, hogy sok négyzetgyöke irracionális szám. nem csökkenti jelentőségüket, különösen a $ \ sqrt2 $ számot nagyon gyakran különböző mérnöki és tudományos számításokban használják. Ez a szám kiszámítható az egyes esetekben szükséges pontossággal. Ezt a számot annyi tizedesjegy pontossággal kaphatja meg, amennyit türelmesen visel.

Például a $ \ sqrt2 $ szám meghatározható hat tizedes pontossággal: $ \ sqrt2 = 1,414214 $. Ez az érték nem különbözik a valódi értéktől, mivel $ 1.414214 \ times 1.414214 = 2.000001237796 $. Ez a válasz 2-től különbözik olyan összeggel, amely alig haladja meg az egymilliomodik számot. Ezért a $ \ sqrt2 $ értéke egyenlő $ 1,414214 $, elfogadhatónak tekinthető a legtöbb gyakorlati probléma megoldásához. Abban az esetben, ha nagyobb pontosságra van szükség, akkor nem nehéz beszerezni annyi jelentős számjegyet a tizedesvessző után, ahogy ez a jelen esetben szükséges.

Azonban, ha ritka makacsságot mutatsz és próbálod kivonni a $ \ sqrt2 $ négyzetgyökét, amíg eléred a pontos eredményt, soha nem fejezed be a munkádat. Ez egy végtelen folyamat. Nem számít, hány decimális helyet kapsz a vessző után, mindig lesz még néhány.

Ez sztrájk van, mint az átalakítás $ \ frac13 $ végtelen tizedes tört $ ,333333333 $ ... és így a végtelenségig, vagy átalakítása $ \ frac17 $ 0,142857142857142857 a $ ... $, és így tovább a végtelenségig. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ezek a végtelen tizedesjegyek és az irracionális négyzetgyökések ugyanolyan rendű jelenségek, de egyáltalán nem ez a helyzet. Végül is ezek a végtelen frakciók frakcionális egyenértékűek, míg $ \ sqrt2 $ nincs ilyen ekvivalens. És miért? Az a tény, hogy a $ \ frac13 $ és $ \ frac17 $ decimális egyenértéke, valamint egy végtelen számú más frakció is periodikus végtelen frakciók.

Ugyanakkor a $ \ sqrt2 $ decimális egyenértéke nem periodikus tört. Ez az állítás minden irracionális számra is érvényes.

A probléma az, hogy minden tizedes tört, amely a 2-es négyzetgyök hozzávetőleges értéke, egy nem-periodikus frakció. Milyen messzire haladunk előre a számításokban, minden olyan rész, amelyet kapunk, nem rendszeres.

Képzelje el, hogy a tizedespont után nagyszámú, nem periodikus számjegyből álló töredék van. Ha hirtelen, miután a teljes szekvencia millió számjegy jegyig újra, majd egy tizedes - időszakos és neki van egy azonos formájú arányban egészek. Ha frakciók a nagyszámú (több milliárd vagy millió) Nem ismétlődő tizedes néhány ponton van egy végtelen sorozat ismételt számok, mint például a $ ... 55555555555 ... $, ez azt is jelenti, hogy a frakció - időszakos és van egy azonos formában a kapcsolatot, mint neki számokat.

Az irracionális számok esetében azonban a decimális ekvivalenseik teljesen nem időszakosak, és nem válhatnak rendszeresen.

Természetesen felteheti a következő kérdést: "Ki tudja biztosan, hogy mi történik a lövéssel, mondjuk egy trillió jel után? Ki tudja garantálni, hogy a tört nem lesz időszakos? "Vannak módszerek annak bizonyítására, hogy az irracionális számok nem időszakosak, de az ilyen bizonyítékok komplex matematikai berendezéseket igényelnek. De ha hirtelen kiderült, hogy az irracionális szám egy periodikus törtrész lesz. ez a matematikai tudományok alapjainak teljes összeomlását jelentené. És valójában ez aligha lehetséges. Ez nem csak az Ön számára, hogy dobja a csuklót a számlákon oldalról a másikra, itt egy komplex matematikai elmélet.

Anyagok a témában:

Ossza meg barátaival: