Véletlen esemény valószínűségének becslése

A véletlen esemény valószínűségének becslése - az oktatás, a statisztikai becslések módszerei Egyes feltételrendszerek végrehajtása eredményeként előfordulhat valaki.

Egy bizonyos feltételrendszer végrehajtása eredményeként előfordulhat véletlenszerű esemény, amelynek előfordulási valószínűsége ismeretlen. Az esemény megfigyeléseinek eredményei alapján egy kísérletben meg kell becsülni a valószínűséget p.

Ennek a problémának a megoldására n független és homogén teszteket hajtanak végre - a Bernoulli-sémát, azaz a Bernoulli-rendszert. n ugyanazok a feltételek együttes megvalósítása valósul meg. A számok száma m (A) = m, ahol az A esemény megjelenik. hozzáállás

az A esemény gyakoriságának nevezzük n próbák sorozatában vagy annak statisztikai valószínűségében. Elemezzük a p * gyakoriság tulajdonságait a p valószínűségi becsléssel.

1. Mivel az A esemény eseményeinek száma n független és homogén tesztekben a binomiális terjesztési törvény hatálya alá tartozik,

A (3.3.2) bekezdésből következik, hogy a frekvencia (3.3.1) a p valószínűségének objektív becslése.

2. Bernoulli tétele szerint

azaz a p * frekvencia valószínűséggel konvergál a p valószínűséggel. Következésképpen a figyelembe vett frekvencia a p valószínűség következetes becslése.

3. Frekvencia diszperzió

ahol q = 1 - p. A (3.3.3) bekezdésből következik, hogy n ¥ диспер esetében a variancia 0. Ez azt jelenti, hogy ez a becslés aszimptotikus hatékonysága. Megmutatható, hogy minden n esetében a frekvencia diszperzió a lehető legkisebb érték, ezért p * a p tényleges becslése.

Így az A esemény p * frekvenciája n független homogén tesztek sorozatában a valószínűsége megfelelő értéke, vagyis annak valószínűsége. legjobb pontbecslés.

Vizsgáljuk meg a p valószínűség becslésének minőségét a p * frekvenciájáról. Tehát ezt hiszünk

A priori, a szám véletlenszerű, és a binomiális terjesztési törvény hatálya alá tartozik. o. A Moivre-Laplace-tétel szerint, elég nagy n (gyakorlatilag np (1- p)> 9) esetén a binomiális eloszlást megfelelő paraméterekkel közelíthetjük meg normális eloszlással paraméterekkel. Ebben az esetben a kapcsolat

Mivel a becslés egy lineáris összefüggéshez kapcsolódik, kb

Mivel a becslés eloszlási törvénye (3.3.4.) Szimmetrikus a becsült valószínűséggel szemben. P. az Ib, n (p) konfidencia intervallum szimmetrikus lesz a becsléshez képest. Ennek az intervallumnak a meghatározásához elegendő megismerni a hosszúságának felét, ami megegyezik az abszolút hiba (p) ab (p) legnagyobb hibájával:

Ennek eredményeként a p konfidencia valószínűségét a következő egyenlet határozza meg:

Az egyenlet (3.3.5.) Megoldása az e-rel kapcsolatban, amit megkapunk

A (3.3.6) kifejezésben a tb mennyisége a normalizált normál eloszlás kvantilátuma:

A tb függvény értékei a 4. függelékben találhatók.

Ha a szükséges pontosság és a megbízhatóság b adódik, akkor a karbantartáshoz szükséges tesztek nb, n számát a (3.3.6) egyenletből találjuk meg:

A képletek (3.3.5) - (3.3.8) meghatározzák a statisztikai becslés minőségének tanulmányozásának három fő problémáját (lásd a 3.2. Pontot) a véletlenszerű esemény valószínűségének becsléséből a frekvenciájából egy független homogén tesztsorozatban.

A (3.3.8) bekezdésből következik, hogy a szükséges minta térfogata fordítottan arányos a becslés legnagyobb valószínűségi hibájának négyzetével, és arányos a tb függvény négyzetével. amely gyorsabban növekszik, mint a b. Ezért annak érdekében, hogy megbecsülhessük a véletlenszerű esemény valószínűségét megfelelő gyakorisággal és megbízhatósággal, meglehetősen hosszú tesztsorozat szükséges. A fentieket a 3.1 táblázatban mutatjuk be, amely a próbák n0.95, e számát mutatja, és a bizalmi valószínűség b = 0,95 a p valószínűség különböző értékeinek becsléséhez szükséges pontossággal.

A bizonytalanság valószínűségének vizsgálatainak száma

Tól 3.1 táblázat egyértelmű, hogy a szükséges számú nb; e vizsgálatok emelkedése nemcsak a növekvő neohodimo becslési pontossága, hanem közelítése az igazi érték a becsült valószínűsége p 0.5. Ez érthető, mivel p = 0,5 esetén a becslés varianciája = p * maximális értéke 0,25 / n [vö. képlet (3.3.3.)]. Ezt a tényt használják a szükséges számú teszt felső határának meghatározására. Tehát feltételezve, hogy p = 0,5, b = 0,95, akkor az érték tb = t0.95 = 1.96 »2 (lásd a 4. függeléket). A (3.3.8) kifejezéssel összhangban megkapjuk

3.1. Példa. A kísérlet során 200 kísérletet végeztünk, az A esemény gyakorisága pedig p * = 0,34 volt.

1. Hozzon létre egy 85% -os megbízhatósági intervallumot az A. esemény valószínűségére.

2. Határozzuk meg a b megbízhatósági valószínűséget az esemény A. valószínűségére. Ha a legnagyobb valószínű hiba eb = 0,1.

▼ 1) A 4. függelékben a b = 0,85-nél a tb = 1.439 értéket találjuk. Ezután a (3.3.6) képlet segítségével a legnagyobb valószínű hiba becsült értéke

Megtaláljuk a konfidenciaintervallumot a relációból (3.3.7)

I0,85; 200 "[0,34-0,048; 0,34 + 0,048] = [0,292; 0,388].

2) A (3.3.5) képlet segítségével találjuk meg a bizalmi valószínűséget

A Φ0 (x) függvény értéke a 2. függelékből származik.

3.2. Példa. A kísérlet során kísérleteket végeznek, az esemény gyakorisága p * = 0,7.

1. Határozza meg a szükséges minta méretét úgy, hogy a p * becslésnél a legnagyobb valószínű hiba e £ 0,05 legyen, ha a konfidencia valószínűsége b = 0,9.

2. Keresse meg a szükséges számú kísérlet felső határát az esemény bármely gyakoriságában.

▼ 1) Egy adott b esetében egy tb = 1.643-at találunk. Ezután a (3.3.8) képlet szerint a szükséges minta mérete lesz

2) A (3.3.9) kifejezésből

[1] Egy elfogult értékelés esetében a hatékonyság fogalmát nem határozzák meg.

[2] Szimbólumok -, ¯ átlag növekedése és csökkenése.